件是：（a）理想流体；（b）粘性流体；（c）可压缩流体；（d）不可压缩流体。
解：这道题的解释同3.11题一样的。
（d）
【3.16】速度势函数存在于 流动中：（a）不可压缩流体；（b）平面连续；
（c）所有无旋；（d）任意平面。
解：速度势函数（速度势）存在的条件是势流（无旋流动）
（c）
【3.17】流体作无旋运动的特征是：（a）所有流线都是直线；（b）所有迹线都
是直线；（c）任意流体元的角变形为零；（d）任意一点的涡量都为零。 解：流体作无旋运动特征是任意一点的涡量都为零。
（d）
【3.18】速度势函数和流函数同时存在的前提条件是：（a）两维不可压缩连续运
动；（b）两维不可压缩连续且无旋运动；（c）三维不可压缩连续运动；（d）三维不可压缩连续运动。
解：流函数存在条件是不可压缩流体平面流动，而速度势存在条件是无旋流动，即流动是平面势流。
（b）
计算题
【3.19】设流体质点的轨迹方程为
其中C1、C2、C3为常数。试求（1）t=0时位于x?a，y?b，z?c处的流体质点的轨迹方程；（2）求任意流体质点的速度；（3）用Euler法表示上面流动的速度场；（4）用Euler法直接求加速度场和用Lagrange法求得质点的加速度后再换算成Euler法的加速度场，两者结果是否相同。 解：（1）以t?0， x?a，y?b，z?c代入轨迹方程，得
x?C1et?t?1??y?C2et?t?1??z?C3?
?a?c1?1??b?c2?1?c?c3?
故得
?c1?a?1??c2?b?1?c?c?3
当t?0时位于(a,b,c)流体质点的轨迹方程为
?x?(a?1)et?t?1?t?y?(b?1)e?t?1?z?c?
（a）
?x?tu??ce?11??t??y?v??c2et?1???t?（2）求任意质点的速度?w?0?
（3）若用Euler法表示该速度场 由（a）式解出a,b,c；
??a?1et?x?t?1??1???b?1y?t?1?et???1?即 ?c?z?
（a）式对t求导并将（c）式代入得
??u??x?(a?1)et??t?1?x?t??v??y?(b?1)et?1?y?t?2??t???z?w??t?0 （4）用Euler法求加速度场
au?u?ux??
?t??xu??yv??u?zw
?1?(x?t)?x?t?1
ay??v?v?v? ?t??xu??yv?v?zw
??1?(y?t?2)?y?t?1
a?w?t??wz??xu??w?yv??w ?zw?0
由（a）式Lagrange法求加速度场为
（b）
（c）
（d）
??2xt?ax??t2?(a?1)e??2y?t?ay?2?(b?1)e?t???2z?az?2?0?t?
（e）
将（c）式代入（e）式 得
?ax?x?t?1??ay?y?t?1??az?0
两种结果完全相同
【3.20】已知流场中的速度分布为
u?yz?t??v?xz?t?w?xy??
（1）试问此流动是否恒定。（2）求流体质点在通过场中（1,1,1）点时的
加速度。
解： （1）由于速度场与时间t有关，该流动为非恒定流动。
ax?（2）
?u?u?u?u?u?v?w?t?x?y?z
?1?z(xz?t)?y(xy)
ay?
?v?v?v?v?u?v?w?t?x?y?z
??1?z(yz?t)?x(xy)
az?
?w?w?w?w?u?v?w?t?x?y?z
?y(yz?t)?x(xz?t) 将 x?1,y?1,z?1代入上式，得
?ax?3?t??ay?1?t??az?2
【3.22】已知流动的速度分布为
其中a为常数。（1）试求流线方程，并绘制流线图；（2）判断流动是否有
旋，若无旋，则求速度势?并绘制等势线。
y解：对于二维流动的流线微分方程为
u?ay(y2?x2)??v?ax(y2?x2)?
Ox
dxdy?uv
习题3.22图
dxdy?2222ay(y?x)ax(y?x) 即
消去 a(y?x) 得 xdx?ydy
22
1212x?y?c22 积分 得
或者
x2?y2?c
若c取一系列不同的数值，可得到流线族—双曲线族，它们的渐近
线为y?x如图
有关流线的指向，可由流速分布来确定。
22??u?ay(y?x)?22??v?ax(y?x)
对于 y?0, 当|y|?|x|时，u?0
当|y|?|x|时，u?0
对于 y?0, 当|y?|x|时，u?0
当|y|?|x|时，u?0
据此可画出流线的方向
判别流动是否有旋，只要判别rotv是否为零，
?v?u????[ax(y2?x2)]?[ay(y2?x2)]?x?y?x?y
?a(y?x)?2ax?a(y?x)?2ay
22??2ax?2ay?0
222222