《应用泛函分析》习题解答 下载本文

。又设 证明:由习题4的结论可知:x0?supf(x0),又由于f(x0)?c,所以x0?c。 的x??,x都有唯一的表示x?y?z,其中y?M,z?L)

f?1xk?yk?zk,yk?M,zk?L,k?1,2,? f??*

第 四 节

3.设C[0,1]按范数?1是Banach空间,且当xk?x1x0?y0?z0,y0?M,z0?L。

证明:xk?x的充要条件是yk?y0且zk?z0。(提示:对x?y?z??,

?0时,对一切t?[0,1]恒

其中y?M,z?L,令x1?y?z,说明(?,?1)是Banach空间。) 证明:首先说明(?,?1)是赋范空间。正定性和绝对齐性是显然的。下面证明满足

1有xk(t)?x(t)?0。证明范数?1与范数x?maxx(t) (x?C[0,1])等价。(提

t?[0,1]示:先证I:(C[0,1],?)?(C[0,1],?1)是闭算子,再用必图像定理知该算子有界,三角不等式。设x1,x2??,则x1?x2最后用逆算子定理得结论。)

证明:令I:(C[0,1],?)?(C[0,1],?1)为Ix?x。显然I是线性双映射。设

?y1?y2?z1?z2,

11。由于

y1?y2?Mx1?x21,

z1?z2?LM,L是闭子空间所

{xk}?(C[0,1],?),且xk?x,Ixk?y。由(C[0,1],?)的完备性可知,x?(C[0,1],?)。且(C[0,1],?)中的收敛等价于一致收敛,所以xk(t)?x(t)。

此外

?y1?y2?z1?z21?x1?x2?y1+y2+z1+z2

=y1?z11?y2?z2?x11?x21。由此可知(?,?1)是赋范空间。

下面再进一步说明它还是Banach空间。

设{xk}是(?,?1)中的Cauchy列。则???0,?N0,当m,n?N0时,有

limIxk?y1?0?limxk?y1?limxk(t)?y(t)?0。再由

k??k??k??xk(t)?x(t),可得y?Ix。所以I是闭算子。根据闭图像定理,则I是有界的。

所以Ix1?x1?Ix。又根据逆算子定理,I?1xn?xm1??。

xn?xm1???yn?ym?zn?zm??――(1)式。这表明{yk}和{zk}分别是M和L中的Cauchy列,又M和L是完备的,所以yk?y0?M, zk?z0?L。令(1)式中m??,则yn?y0?zn?z0???yn?zn?y0?z01???xn?x01??。

这表明xk?x0??,所以(?,?1)是Banach空间。 下面要说明的是范数?与?1是等价的。

也是有界的。所以

I?1x?x?I?1x1。

综上所述,?1与范数x?maxx(t) (x?C[0,1])等价。

t?[0,1]

4.设?,?1,?2均是Banach空间,A??(?,?2),B??(?1,?2),若对于任意的x??,方程Ax?By都有唯一的解y?Tx。证明T??(?,?1)。

由于?是Banach空间,所以x0??。由解的唯一性可知:

证明:设{xk}??,且xk?x0,Txk?y0。由A,B的连续性意知T是连续的。令I:(?,?)?(?,?)为Ix?x。则I是线性双映射。取{xk}?(?,?),且

1Axk?BTxk?A,B连续xk?x0,

Ixk?s。显然有

x0?(?,?)。

Ax0?By0?

Ixk?s1?xk?s1?yk?ys?zk?zs?0,所以在(?,?)有yk?ys,

zk?zs,则必有xk?yk?zk?ys?zs?s,而xk?x0,所以Ix0?s。由

此可知,I是闭算子。根据闭图像定理可知I有界。再根据逆算子定理I?1也有界。

y0?Tx0。所以T是闭算子。根据闭图像定理,则T??(?,?1)。

5.设?是Banach空间,M、L均?的闭子空间,且??M?L(即对于任意

13

由此可以容易推出?与?1是等价的。 最后我们来证明题目的结论。

按?则Tnx?,

?abkk?1nk??。由一致有界原理可知Tn??――(1)式。

n121212必要性:已知

xk?x?与

?1等价,则

此外

nxk?x1?0?yk?zk?y0?z01?0? yk?y0?0, zk?z0?0。

?n2??n2??n2?Tnx??akbk???ak???bk????ak?xk?1?k?1??k?1??k?1?12,所以

yk?y0?0且

?2?Tn???ak?。 ?k?1?(n)另一方面,令b?(a1sgn(a1),a2sgn(a2),?,ansgn(an),0,?),

zk?z0?0?yk?zk?y0?z0?0?xk?x?0。

第 五 节

1.设实数列{ak}对任何满足明:supak??。

k?12证明:令fn:l?R为

Tn?Tnb(n)b2k(n)

?bk?1?2k22??的实数列{bk},都有?akbk??。证

k?1?则

fn(x)?anbn,其中x?(bk)?l2。则

k?1?fn(x)?anbn??。由一致有界原理可知:supfn??――(1)式。

此外fn(x)?anbn?an???2?2?。综上所述,?aT?a?????knk?。根据(1)式有,1?k?1??n2?2?k?1???ak??k?1?k?1?ann12n12bn?sgn(an),则fnk?1???anx。所以fn?an;另一方面取kk?1??fn(x)?an。由此可知:fn?an b??2?n12??2???ak???,即?ak2??。

k?1?k?1??12

由(1)式可知:supak??。

2.设实数列{ak}对任何满足明:

2a?k??。 k?122第 六 节

2.设M是赋范空间?的子空间,{xk}?M。若xk?x0。证明x0?M。

w*证明:若x0?M,则由泛函延拓定理可知,存在f??,使得f(x0)?0,

?bk?1?2k??的实数列{bk},都有?akbk??。证

k?1??f|M?0。再由xk?x0?f(xk)?f(x0)。已知f是连续的,且{xk}?M,

所以f(x0)?limf(xk)?0。此与f(x0)?0矛盾,故x0?M。

k??w证明:令Tn:l?l为Tn(x)?(a1b1,a2b2,?,anbn,0,?),其中x?(bk)?l。

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3.设xk?x0,且limxk??。证明:x0?limxk。

k??k??w证明:由泛函延拓定理可得:存在f??,使得f(x0)?x0,f?1。由

*xk?x0w?f(xk)?f(x0)k??k??。又

f是连续的,所以

????k??11Tnx?Tx???????x,所以Tn?T??Tn?T。由

?k?n?1?k??n?1n?1??22于?0(l)是Banach空间,所以T??0(l)。

212x0?f(x0)?limf(xk)?limfxk ?limxk。

k??(?I?T)x?(??1,??2??1,??3?单映射,又T(l)?{(0,任意性,?(T)?C。

2?22,?)?0?x?(?k)?0,所以?I?T是

?1?21,2

24.定义算子T:l2?l2为T:x?(?k)?(0,0,?1,?2,?)。证明T??(l),并求T。

证明:已知(l)与l2是等距同构的,所以?f?(l),???l2,使得

2*2*,?)}?{(?k)|?1?0}是l2的真子空间。再由?的

?f(y)??Ty,y?l2。

第 三 章

第 一 节

2.设实数列{xk}满足

(Tf)(x)?f(Tx)??(Tx)???i?i?2???i?2?i?(T?)(x),式中T为

?TcT??c

?xk?1?2k2??,证明:?xkxk?1??xk。

k?1k?1??i?3i?1c?c对序列的左移两步算子,即T:x?(?k)?(?3,?4,?)。所以T?T。

证明:设x0?{x1,x2,?},y0?{x2,x3,?}。则x0,y0??xk?1?kxk?1,

第 七 节

3.设T??(?),?是T的特征值,证明?是T的特征值,这里n??。 证

。(?I?T)x?0?x?Tx?T((?I?T)x)?0?T(?x)?T2x??2x?T2x。依此类推,可得?nx?Tnx,

nnnx0,x0??xk?1?2k,

2y0,y0??xk?1k?1?。由Schwarz不

x0,y02?x0,x0y0,y0可得:

2?2k所以?是T的特征值。

n?xk?1?kxk?1??xk?1?xk?1?2k?1???1?2?,,?,k,??,x?(?k)?l2,证明T是紧

k?12?线性算子,且?(T)?C。(注:原题要证明?(T)?{0},本人认为有误。)

7.定义T:l?l为Tx??0,22??2????xk???k?1?2?xk?1?k2。 xk?1??xkk?1?

3.设{xk}是内积空间V中的点列,且对一切y?V,xk,y?x,y。证明:

?????22证明:令Tn:l?l为Tn:x?(?k)??0,1,2,?,n,0,0??。则Tn是线性

n?12?算子,且是有限秩算子,所以Tn是紧线性算子。

limxk?x?limxk?x。

k??k??证明:必要性是显然的。下证充分性。

0?xk?x15

2?xk?x,xk?x?xk?xk,x?x,xk?x――(1)式。

由于当k??时,xk?x,xk,x?x,x,xk?x。所以由(1)式可得:xk?x?0?limxk?x。

k??有M?(M),所以只要证明(M)?M。设x?(M),则x关于M的

???投影为x?x0?y0,x0?M,y0?M。由于M?(M),所以上式也可理解

??????

4.证明C[0,1]按范数x?maxx(t)不能成为内积空间,即该范数不能由内积导

0?t?1???为x关于M?的投影x?x0?y0,x0?(M),y0?M,又因为x关于M?的

投影也可写成:x?0?x,x?(M)????,而投影是唯一的,所以

出。

解:取x0(t)?1?t,y0(t)?1?t。则x0(t)?y0(t)?2,x0(t)?y0(t)?2t。

x?x0?M,y0?0。这表明(M?)??M。

综上所述,M?(M)。 6.设M是Hilbert空间H的子空间,且对任何x?H,x在M上的投影都存在,证明M是H的闭子空间。(提示:利用投影定理。)

证明:实际上只要证明M是闭集即可。设{xk}是M中的收敛点列,且满足

x0?x0?y0?x0?y0?2,y0?1。x0?y0?10?2(x0出。

222?x0?y02?8

?y0)。这表明不满足平行四边形法则,即该范数不能由内积导

第 二 节

2.设M是

Hilbert

空间H的非空子集,M?(M)?limxk?x。由条件知:x关于M有唯一的分解,

k????,

x?x0?y0,x0?M,y0?M?。所以

k??有

xk?x0?y0(k?1)。

。以

M??(spanM)?(spanM)。

?????y0

2?x?x0,y0?limxk?x0,y0?limxk?x0,y0?0k???证明:已知?x?M,x?M,显然x?(M),所以M?(M)。

y0?0?x?x0?M。这表明M是闭集。

?x?M?,有x?M,而由spanM构造方法可知:x?spanM。所以x?(spaMn)?,M??(spanM)?。另一方面,?x?(spaMn)?,

第 三 节

1. 设F?{e1,e2,?}是Hilbert空间H中的标准正交系,证明F是完备的标准正

交系等价于spanF?H。 明

x?spanMM?spanM??x?M?x?M?。

???综上所述,有M?(spanM)。由内积的连续性,很容易得到M?(spanM)。 证3.设M是Hilbert空间H的凸子集,{xk}是M中的点列,且满足条件:

F??H是H完备

?i的lbF

ert完全

?F??{0}。而

limxk?inf{x|x?M}。证明{xk}是H中的收敛点列。(提示:仿定理3的

k??spanF?spanF?F???H?

F??{0}。所以F是完备的标准正交系等价于spanF?H。

证明。)

第 四 节 证明:

2221. 设l?l定义为Tx?(0,?1,?2,?),x?(?k)?l。求T的共轭算子。

??5.设M是Hilbert空间H的子空间,证明M?(M)。(提示:利用投影定理。) 解y?(?1,?2,?):令。则证明:由于M??(M)?。不妨设M是闭集,否则用M代替。由习题2的结论

Tx,y?(0,?1,?2,?),(?1,?2,?)??1?2??2?3?? 16