（提示：注意到非零x,y??，恒有T(x?y)?Tx?Ty。证明：T是线性算子。

n有理数r形如（n??,m??，n与m互质），先对有理数r说明

m） T(rx)?Tf(x)，然后利用连续性。

证明：令T(x?y)?Tx?Ty为（1）式。则在（1）式中，当x?y?0时，有T0?0；当y??x时，有T(?x)??Tx，令此式为（2）式。此外利用（1）式还可得：T(nx)?nTx,n?1，令此式为（3）式。又

(3)式(3)式1111Tx?T(m(x))?mT(x),m?1?Tx?T(x),m?1?

mmmm(2)式nnTx?T(x),(m,n?1)??r?Q，且r?0，有T(rx)?rTx??r?Q，mm有T(rx)?rTx，令此式为（4）式。

由Q在R中稠密????R，?{rn}?Q，使得rn??。因此

设

x,y?Ck[a,b]ki?0a?t?b，

ka?t?b则

x?y??mk(i)a?t?bx(t)?y(t)a??m(i)(i)i?0?x(i)(t)?xy(i)(t)a

?x??maxx(t)??maxy(i)(t)?x?y。所以按此范数它是赋范空间。

i?0i?0a?t?bk（２）证明完备性。

k设{xn}是C[a,b]中的Cauchy列。则???0，?n0，当m,n?n0时，有

(i)(i)(t)?xm(t)??――（１）式。特别的，对于每个xn?xm??，即?maxxni?0a?t?b(i)k（１）式都成立。所以{xn}是C[a,b]中的Cauchy列。于是?yi?C[a,b]使i，

(i)(t)一致收敛到yi(t)。 maxx(t)?yi(t)?0，所以xnka?t?b(i)nn??T(?x)?limT(rnx)?

n??rn?QT连续当

i?0n??时

牛－莱公式有

ttn??aan??，

y0(t)?y0(a)?lim[xn(t)?xn(a)]ta?(1)(1)lim?xn(?)d???limxn(?)d?

?(limrn)Tx??Tx。

n??(1)(t)?y1(t)。 ??y1(?)d?，所以y0(1)(k)同理可得：当i?1时，有yi?1(t)?yi(t)。最终有y0(t)?yk(t)?C[a,b]，所k以y0(t)?C[a,b]。

?T(x?y)?Tx?Ty由??T是线性算子。 ?T(?x)??Tx,??R

第 四 节

2．设C[a,b]表示定义于[a,b]上“直至k阶连续导数”的函数x(t)的全体，按

k通常函数的加法与数乘，C[a,b]是线性空间。对x?C[a,b]，

kk综上所述，它是Banach空间。

5．设A、B是赋范空间?的子集，且A?B，证明： （１） 若A是第二纲集，则B必是第二纲集； （２） 若B是第一纲集，则A必是第一纲集； 证明：先证明（２）。B是第一纲集，则B?x??maxx(i)(t)，其中x(0)(t)表示x(t)，则Ck[a,b]成为赋范空间。证明它

i?0a?t?bk?Gn?1?n?1?n，其中Gn是稀疏集。令

是Banach空间。 证明：

（１） 证明赋范空间。

正定性与绝对齐性是显然的。下证此范数满足三角不等式。

Fn?Gn?A，则Fn也是稀疏的。下面来证A??Fn。设x?A，按Fn的定

5

义必有x??Fn，则A??Fn；另一方面，设x??Fn，则必存在n0，使

n?1n?1n?1???证明：设A是紧集，且{xk}是A中的Cauchy序列。则???0， ?N0?0，使得当k,l?N0时，有xk?xl??。又因为A是紧集，则?{xki}及x0?A，使得xki?x0。因此当ki?N0时，也有xk?xki???xk?x0??。由此可知：{xk}收敛，且极限为x0?A。则A是完备子集。

2．证明紧集的闭子集是紧集，紧集必是闭集。

证明：设A是紧集，且B?A是闭集。?{xk}?B，有

i??得x?Fn0，按Fn的定义有x?A，所以

?Fn?A。由此可知：A??Fn。

n?1n?1??所以A必是第一纲集。

（１） 若B必是第一纲集的话，按（２）中的结论可知A必是第一纲集，此与A是第二纲集矛盾，所以A是第一纲集。 6．设A是赋范空间?中的闭集，且A不是稀疏集，证明A必包含?中某个闭球。 证明：A不是稀疏集?存在?中某个开集G，使得A在G中稠密。取

{xk}?A??{xki}?A，使得xki?x0??{xk}?B，?子列{xki}，使

得xki?x0?B是列紧的——（1）式。 又因为B是闭集，则x0?B——（2）式。

由（1）（2）式可知，B是紧集?紧集的闭子集是紧集。 设A是紧集。?{xk}?A，且xk?x0A是紧集A是紧集~~x?G,r?0，使得B(x,r)?G，所以有B(x,r)?G?A?A。

A闭

7．设A是赋范空间?的真闭子空间，证明A是?中稀疏集。

证明：由习题6的结论可知：如果A不是稀疏集，则?x0??,r?0，使得

??{xki}?A，使得xki?x1，且

~B(x0,r)?A。因此?x??，有

x?(A?x0)xrA是rx~?x0?B(x0,r)?A，则xx1?A。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，可知x0?x1?A，由此可知A是闭集。

3．证明列紧集的闭包是列紧集，因而列紧集的闭包是紧集。

证明：设A是列紧集。?{xk}?A，由接触点的性质，存在{yk}?A，使得

?子A，所以A＝?，此与A是?的真闭子空间矛盾。由此

空间可知：A是?中稀疏集。

8．证明P[a,b]是C[a,b]中的第一纲集。

证明：用Pn[a,b]表示次数不超过n的多项式，则Pn[a,b]是C[a,b]的真闭子集，由习题7的结论可知Pn[a,b]在C[a,b]是稀疏的。又P[a,b]?明P[a,b]是C[a,b]中的第一纲集。

?1xk?yk?,k?1——（1）式。{yk}?Ak(1)式A是列紧??{yki}?A，使得

yki?x0?

?P[a,b]，这表

nn?1?{xki}?A，xki?x0。因此A是列紧的。又A式闭集，则x0?A，所以A是

紧集。

4．证明：若K是紧集，???，则?K也是紧集。

证明：K是紧集??{xk}?K，?子列{xki}，使得xki?x0，且

第 五 节

1．证明紧集必是完备子集。

x0?K??{?xk}??K，?子列{?xki}，使得?xki??x0，且

6

?x0??K??K是紧集。

5．证明紧集的有限并是紧集，紧集的任意交是紧集。 证明：设{A1,A2,?,An}是一列有限的紧集，记P?nx(1)?x(2)???x(i?1)?x(i)?x。由此可知：x??Kn，则?Kn??。

n?1n?1???Ai?1i。?{xk}?P，则必

存在整数j(1?j?n)，使得Aj含有{xk}的无穷多项，记为{xki}?Aj。由Aj是紧集，则?{xki}的子列{xki}，使得xki?x0，且x0?Aj。因此?{xk}?P，

jj

7．设A是?中的非空紧集，映射T:???1连续，证明T(A)是?1中的紧集，即紧集的连续像仍是紧集。

证明：设{yk}是T(A)中的序列，由像与原像的性质，可知?{xk}?A是{yk}的原像，再由A是非空紧集，可知存在子列{xki}?x0，而T是连续的，则

都存在它的子列{xki}?x0，且x0?P。所以紧集的有限并是紧集。

j{yki}?{T(xki)}?T(x0)?y0，因此T(A)是?1中的紧集。

An。?{xk}?Q，设{An|n?1}是一列紧集，记Q?则对任意整数j(j?1)，8．设A是?中的紧集，映射T:???1连续，证明T在A上一致连续，即对于n?1任何??0，存在??0，当x,y?A，且x?y??时，恒有Tx?Ty??。

都有{xk}?Aj。由Aj是紧集，则?{xk}的子列{xki}，使得xki?x0，且

证明：用反证法。???0，???0，当x?,y??A，且x??y???时，恒有

??x0?Aj(j?1)，即x?P??An。因此?{xk}?P，都存在它的子列

n?1?{xki}?x0，且x0?P。所以紧集的任意交是紧集。

6．设{Kn}是?中一列不增的非空紧集，证明

11，则xk?yk?――（１）式。由于{xk}是kk紧集A中的序列，则必存在子列{xki}?x0，由（１）式可知，{yki}?x0。再

Tx??Ty???。不妨取???Kn??。若将条件中“紧集”

n?1?由T的连续性，则Txki?Tyki?Tx0?Ty0?0，此与Tx??Ty???矛盾。所以T在A上一致连续。

9．设A是?中的非空紧集，泛函f:A?R连续，证明f在A上有界，且f在

i??改为“闭集”，试问结论是否成立？

证明：由Kn非空，可取xn?Kn。再由题意知K1?K2???Kn??，则

(1)}，xi?Kn(i?n?1)。显然l1?{xn}?K1，由K1是紧集，则?l1的子列{xn(1)(1)(1)(1)使得xn?x，且x?K1；此外取l2?{xn}\\{x1}?K2，由K2是紧集，(2)(2)(2)(2)则?l2的子列{xn}，使得xn?x，且x?K2。由收敛序列的极限与其子

A可达到其最大值和最小值。

证明：由习题 7结论可知，f(A)是紧集，则f(A)必有界。设??sup(f(x))，

x?A则必存在一列{xk}?A，使得limf(xk)??。由A是紧集，则?{xki}及x0?A，

k??列的极限一致，则x?x(2)?x，且x?K1?K2。依此类推，当i?2时，有

(i?1)(i)(i)li?{xn}\\{x1,?,xi?1}?Ki，?li的子列{xn}，使得xn?x(i)，且x(i)?Ki。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，则

(1)使得xki?x0。

由f的连续性，存在?{f(xki)}及f(x0)?f(A)，使得f(xki)?f(x0)。由此可知：??limf(xk)?limf(xki)?f(x0)?A。

k??i??同理可证：存在??inf(f(x))?limf(xk)?limf(xki)?f(x1)?A。

x?Ak??i??7

111．设K是?中的非空紧集，x0??，证明存在y0?K使x0?y0?d(x0,K)。

6．已知??C[0,1]，证明函数方程x(t)?sinx(t)??(t)在[0,1]上存在唯一的

2证明：显然泛函d:K?R连续，且K是非空紧集。再由

d(x0,K)?inf(x0?y|y?K)，根据习题9的结论可知：必存在y0?K，使连续解。 得x0?y0?d(x0,K)。

证明：令T:C[0,1]?C[0,1]为：(Tx)(t)?第 六 节

5．设{aij}(i,j?1,2,?,n)是一组实数，满足条件

i,j?1?(anij??ij)2?1，其中

?1,i?j。证明代数方程组?ij??0,i?j?b?(b1,?,bn)T?R都存在唯一解。

分析：代数方程组

?aj?1nijxj?bi, (i?1,2,?,n)对任何

?aj?1nijxj?bi, (i?1,2,?,n)等价于Ax?b，其中

T1sinx(t)??(t)。 21x(t)?y(t)x(t)?y(t)(Tx)(t)?(Ty)(t)?sinx(t)?siny(t)?cossin222x(t)?y(t)x(t)?y(t)x(t)?y(t)x(t)?y(t)?cos?sin?maxcos?maxsint?[0,1]t?[0,1]2222x(t)?y(t)11?maxsin?maxx(t)?y(t)?x(t)?y(t)。 t?[0,1]22t?[0,1]2所以T是C[0,1]?C[0,1]上的压缩映射，且C[0,1]是完备的。由压缩映射原理可知：映射T存在唯一的不动点x0(t)?C[0,1]。

7．设{aij}(i,j??)是一组实数，满足sup??A?[aij]n?n，x?(x1,?xn)。显然b?Ax?x?x，证明解的唯一性等价于

证明映射Tx?b?(A?I)x有唯一的不动点。

证明：令T:R?R的映射为Tx?b?(A?I)x，??22nnnnj?1i?1?|a?ij|?1。证明无穷代数方程：

i,j?1?(annij??ij)?1。

22xi??aijxj?bi, i??，对任何b?(bi)?l必存在唯一解x?(xi)?l。

j?1Tx?Ty?(A?I)(x?y)?(?a1j(xj?yj),?a2j(xj?yj),?,?anj(xj?yj)?j?1j?1j?1n?n?(1)n?n?22?????x?y(a??)(x?y)?(a??)(x?y)??j?j??ijijj??ijij?j?i?1?j?1j?1?i?1?j?1?n22证明：令A?[aij]i,j??，x?(xk)，supj?1j?1?a?ij??。方程组

i,j?1?(aij??ij)2nxi??aijxj?bi, i??等价与。

j?1????x?y。所以Tx?Ty??x?y, 0???1。

上述推导过程中，（1）应用了许瓦尔兹不等式，（2）利用了条件。

由T是压缩映射，且R是完备子空间，由压缩映射原理可知：T存在唯一的不动点。

n(2)2令T:l?l为Tx?Ax?b。则对x?(xk)和y?(yk)有：

Tx?Ty?A(x?y)????aij(xj?yj)???aijxj?yj???xj?yji?1j?1i?1j?1j?1?8

??????a?ij? i?1??