解：设⊙O与BC的交点为F，连接OB、OF，如图1所示．

∵△MDN为直角三角形， ∴MN为⊙O的直径， ∵BM与⊙O相切， ∴MN⊥BM，

∵将MB绕M点逆时针旋转90°得MN， ∴MB＝MN，

∴△BMN为等腰直角三角形，

∵∠AMB+∠NMD＝180°﹣∠AMN＝90°，∠MBA+∠AMB＝90°， ∴∠NMD＝∠MBA，且BM＝NP，∠A＝∠NMD＝90°， ∴△ABM≌△DMN（AAS）， ∴DM＝AB＝4，DN＝AM，

设DN＝2a，则AM＝2a，OF＝4﹣a， BM＝

＝2

，

∵BM＝MP＝2OF， ∴2

＝2×（4﹣a），

解得：a＝，

∴DN＝2a＝3，OF＝4﹣＝，

∴⊙O半径为，

如图2，延长BA，使AH＝AB＝4，连接HQ，OH，过O作OG⊥AB于G，

∵AB＝AH，BP＝PQ， ∴AP＝HQ，HQ∥AP，

∴当HQ取最小值时，AP有最小值， ∴当点Q在HO时，HQ的值最小， ∵HG＝4+4﹣＝∴OH＝

∴HQ的最小值＝∴AP的最小值为故答案为：

．

，GO＝3+4﹣2＝5， ＝

﹣＝，

＝

， ，

五、解答题（共3小题，共30分）

26．为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；

（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物

可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

单价（元/棵） 合理用地（m2/棵）

甲 14 0.4

乙 16 1

丙 28 0.4

解：（1）y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）

（2）由题意：﹣2x2+36x＝160， 解得x＝10或8．

∵x＝8时，36﹣16＝20＞18，不符合题意， ∴x的值为10．

（3）∵y＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162， ∴x＝9时，y有最大值162，

设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵， 由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b＝8600， ∴a+7b＝1500，

∴b的最大值为214，此时a＝2，

需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2＜162， ∴这批植物可以全部栽种到这块空地上．

27．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE． ①求证：DQ＝AE； ②推断：

的值为 1 ；

＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿

（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，

GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；

GF＝2（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，求CP的长．

，

【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ． ∴∠QAO+∠OAD＝90°． ∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD＝90°． ∴∠QAO＝∠ADO． ∴△ABE≌△DAQ（ASA）， ∴AE＝DQ． ②解：结论：

＝1．

理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE， ∴DQ∥FG， ∵FQ∥DG，

∴四边形DQFG是平行四边形， ∴FG＝DQ， ∵AE＝DQ， ∴FG＝AE， ∴

＝1．

故答案为1．