...

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、作图﹣设计；熟练掌握基本作图和解直角三角形是解决问题的关键．

21．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表： 售价x（元/千克） … 销售量y（千克） …

50 100

60 90

70 80

80 70

… …

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？

（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？ 【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式． （2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；

（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得

，

解得

．

故y与x的函数关系式为y=﹣x+150；

（2）根据题意得

（﹣x+150）（x﹣20）=4000，

解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．

故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；

（3）w与x的函数关系式为： w=（﹣x+150）（x﹣20） =﹣x2+170x﹣3000 =﹣（x﹣85）2+4225，

...

...

∵﹣1＜0，

∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．

∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元． 【点评】本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．

22．（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：

如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系： AD=DE ；

（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；

（2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；

（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，证出△ADE是等边三角形，得到△ABC∽△ADE，即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°． 又∵DF∥AC， ∴∠BDF=∠BFD=60°， ∴△BDF是等边三角形， ∴DF=BD，∠BFD=60°， ∵BD=CD， ∴DF=CD ∴∠AFD=120°．

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∵EC是外角的平分线， ∠DCE=120°=∠AFD， ∵∠ADB=∠ADC=90°， ∴∠ADF=∠ECD=30°， 在△AFD与△EDC中，

，

∴△AFD≌△DCE（ASA）， ∴AD=DE；

（2）AD=DE；

证明：如图2，过点D作DF∥AC，交AC于点F，∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°， 又∵DF∥AC， ∴∠BDF=∠BFD=60°，

∴△BDF是等边三角形，BF=BD，∠BFD=60°， ∴AF=CD，∠AFD=120°， ∵EC是外角的平分线， ∠DCE=120°=∠AFD， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD， ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC， ∴∠ADF=∠EDC， 在△AFD≌△DCE中，，

∴△AFD≌△DCE（ASA）， ∴AD=DE；

（3）解：∵BC=CD， ∴AC=CD， ∵CE平分∠ACD， ∴CE垂直平分AD， ∴AE=DE， ∵∠ADE=60°，

...

...

...

∴△ADE是等边三角形， ∴△ABC∽△ADE， 在Rt△CDO中，∴

，∴

， ，

∴==．

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．

23．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒

个单位长度的速度从B向C运动，P、Q

同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）求二次函数的解析式；

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