《数学奥林匹克专题讲座》第04讲 整数的分拆 下载本文

3990=35×114,

因为114>35,所以 k=35,2a+k-1=114,解得a=40。推知35对应的表示方法是首项为40的连续35个自然数之和,即

1995=40+41+42+?+73+74。

再如,对于奇约数399,由(*)式,得

3990=399×10,因为399>10,所以k=10,2a+k-1=399,解得a=195。推知399对应的表示方法是首项为195的连续10个自然数之和,即

1995=195+196+197+?+204。

对于1995的15个大于1的奇约数,依次利用(*)式,即可求出15种不同的表示方法。 练习4

1.将210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5。第1个数与第6个数分别是几?

2.将135个人分成若干个小组,要求任意两个组的人数都不同,则至多可以分成多少组?

3.把19分成几个自然数(可以相同)的和,再求出这些数的乘积,并且要使得到的乘积尽可能大,最大乘积是多少?

4.把1999分拆成两个自然数的和,当不考虑加数的顺序时,一共有多少种不同的分拆方法?求出这两个自然数的积,要使这个积最大,应将1999如何分拆?

5.把456表示成若干个连续自然数的和。要求写出所有的表达式(如9可以有两种表达形式:9=4+5=2+3+4)。

6.几个连续自然数相加,和能等于2000吗?如果能,有几种不同的答案?写出这些答案。如果不能,说明理由。

7.把70分拆成11个不同自然数的和,这样的分拆方式一共有多少种?将不同的表示方法列举出来。

8.有一把长为13厘米的直尺,在上面刻几条刻度线,使得这把尺子能一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。问:至少要刻几条线?要刻在哪些位置上?

4 1.15,40。

解:这7个数中第4个数是中间数,它是这7个数的平均数,即210÷7=30。因为相邻 2数的差都是 5,所以这7个数是15,20,25,30,35,40,45。故第1个数是15,第6个数是40。 2.15组。

解:因为要求任意两个组的人数不相等,且分得的组要尽可能地多,所以,要使每个组分得的人数尽可能地少。

由于1+2+3+4+?+14+15=120,所以将 135人分成每组人数不等的15个组后还余15人。剩下的15人不能再组成一个或几个新的小组,否则就会出现两个或两个以上的组的人数相等的情况。因此,应将剩下的15人安插在已分好的15个组之中,所以至多可以分成15个组。这15个组各组人数可以有多种情况,例如,分别是 2,3,4,5,6,?,14,15,16人。 3.972。

解:要使乘积尽可能大,把19分成的几个自然数中,3要尽量多且不能有1,所以应把19分成5个3及1个4的和。最大乘积为35

×4=972。

4.有999种方法,分成999+1000时积最大。

5.提示:456有三个大于1的奇约数3,19,57。利用例12的方法可得:对于3,有k=3,a=151;对19,有k=19,a=15;对于57,有k=16,a=21。所以456有如下三种分拆方法: 456=151+152+153 =21+22+23+?+39 =15+16+17+?+33。 6.能。

提示:与例12类似,2000=24

×53

,有三个大于1的奇约数5,25,125。对于5,有k=5,a=398;对于25,有k=25,a=68;对于125,有k=32, a=47。所以2000共有如下三种分拆方法:

2000=398+399+400+401+402 =68+69+70+?+91+92

=47+48+49+?+77+78。

7.5种。

解:1+2+3+?+11=66,现在要将4分配到适当的加数上,使其和等于70,又要使这11个加数互不相等。

先将4分别加在后4个加数上,得到4种分拆方法: 70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15 =1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11 =1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11 =1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11。

再将4拆成1+3,把1和3放在适当的位置上,仅有1种新方法:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12。

再将4拆成1+1+2或1+1+1+1+1或2+2,分别加在不同的位置上,都得不出新的分拆方法,故这样的分拆方法一共有5种。

8.至少要刻4条线,例如刻在1,4,5,11厘米处,便可一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。这是因为由1,4,5,11,13这5个数以及它们之间任意2个的差能够得到1到13这13个整数,见下列各式: 5-4=1, 13-11=2, 4-1=3, 11-5=6, 11-4=7, 13-5=8, 13-4=9, 11-1=10, 13-1=12。

下面我们来证明,只有3个刻度是不够的。如果只刻了3条线,刻在a厘米、b厘米、 c厘米处(0<a<b<c<13),那么 a,b,C,13两两之差(大减小),只有至多6个不同的数:13-a,13-b,13-c,c-a,c-b,b-a,再加上a,b,c,13这4个数,至多有10个不同的数,不可能得到1到13这13个不同的整数来。

顺便说明一下,刻法不是唯一的。例如我们也可以刻在1厘米、2厘米、6厘米、10厘米这4个位置上。