小学+初中+高中 正确的是( )

A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0

(2)方程 2＝2－x的解的个数是________． (1)D (2)1 [(1)由f (x)＝a所以0＜a＜1，函数f (x)＝ax－bx－bx的图像可以观察出，函数f (x)＝axx－b在定义域上递减，

的图像是在y＝a的基础上向左平移得到的，所以b＜0.

(2)方程的解可看作函数y＝2和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．

x

由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]

?角度1 比较指数式的大小 指数函数的性质及应用 421

(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )

333

【导学号：66482054】

A．b＜a＜c C．b＜c＜a

B．a＜b＜c D．c＜a＜b

x(2)(2016·浙江高考)已知函数f (x)满足：f (x)≥|x|且f (x)≥2，x∈R.( ) A．若f (a)≤|b|，则a≤b B．若f (a)≤2，则a≤b C．若f (a)≥|b|，则a≥b D．若f (a)≥2，则a≥b

42212

(1)A (2)B [(1)a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5.

333332

∵y＝x在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.

3

(2)∵f (x)≥|x|，∴f (a)≥|a|.若f (a)≤|b|，则|a|≤|b|，A项错误．若f (a)≥|b|且f (a)≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f (x)≥2，∴f (a)≥2.若f (a)≤2，则2≥2，故b≥a，B项正确．若f (a)≥2且f (a)≥2，无法推出a≥b，故D项错误．故选小学+初中+高中

babaxabbb小学+初中+高中 B.]

?角度2 解简单的指数方程或不等式

(2015·江苏高考)不等式2x－x＜4的解集为______．

{x|－1＜x＜2}(或

2

2

2

－1，

)

[∵2x－x＜4，∴2x－x＜2，

222

∴x－x＜2，即x－x－2＜0，∴－1＜x＜2.] ?角度3 探究指数型函数的性质

?1? 已知函数f (x)＝???3?

(1)若a＝－1，求f (x)的单调区间； (2)若f (x)有最大值3，求a的值；

.

(3)若f (x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

?1?[解] (1)当a＝－1时，f (x)＝???3?

令g(x)＝－x－4x＋3＝－(x＋2)＋7， 则g(x)在区间(－∞，－2)上递增，2分

2

2

，

?1?x在区间[－2，＋∞)上递减，又函数y＝??在R上是减函数，

?3?

因此f (x)的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2). 4分

a＞0，??2

(2)由f (x)有最大值3知，ax－4x＋3有最小值－1，则有?12a－16

＝－1，??4aa＝1. 8分

解得

(3)由f (x)的值域是(0，＋∞)知，ax－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 12分 [规律方法] 1.比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．

2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．

3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．

易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．

2

小学+初中+高中

小学+初中+高中

[思想与方法]

1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．

2．判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较． [易错与防范]

1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论．

2．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．

3．对可化为a＋b·a＋c＝0或a＋b·a＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．

2xx2xx小学+初中+高中