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第五节 指数与指数函数
[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.3.知道指数函数是一类重要的函数模型．
1．有理指数幂 (1)分数指数幂
①正分数指数幂：a＝a(a＞0，m，n∈N，且n＞1)； ②负分数指数幂：a－＝
mnnm*
mn1
man＝1
(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；
*
nam③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a·a＝arsrsr＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(a)＝a(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)＝ab(a＞0，b＞0，r∈Q)． 2．指数函数的图像与性质
rrrrs
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 21
(1)(－1)＝(－1)＝－1.( )
42(2)函数y＝2
mnx－1
是指数函数．( )
(3)若a＜a(a＞0，且a≠1)，则m＜n.( ) (4)函数y＝ax＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)]－(－1)的结果为( ) A．－9 C．－10
B [原式＝(2)－1＝8－1＝7.]
3．函数y＝a－a(a＞0，且a≠1)的图像可能是( )
x66
0
2
B．7 D．9
A B C D
C [法一：令y＝a－a＝0，得x＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.
法二：当a＞1时，y＝a－a是由y＝a向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，D都不合适；
当0＜a＜1时，y＝a－a是由y＝a向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D.] 4．(教材改编)已知0.2＜0.2，则m________n(填“＞”或“＜”).
【导学号：66482052】
＞ [设f (x)＝0.2，f (x)为减函数， 由已知f (m)＜f (n)，∴m＞n.]
5．指数函数y＝(2－a)在定义域内是减函数，则a的取值范围是________.
【导学号：66482053】
(1,2) [由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]
xxmnxxxxx
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化简求值： 指数幂的运算 ?3?0－2?1?10.5
(1)?2?＋2·?2?－－(0.01)； ?5??4?2
a·b－1－·a－·b(2)623
12
12
13. a·b5
1?4?1?1?11211116
[解] (1)原式＝1＋×??－??＝1＋×－＝1＋－＝. 6分
4?9?2?100?2431061015
a－b·a－b(2)原式＝
11
32
11231111151
＝a－－－·b＋－＝. 12分
15326236aab66
[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [变式训练1] 化简求值：
1?1?－2?7?10
(1)(0.027)－－??＋?2?－(2－1)；
3?7??9?2511－12－31－2
(2)a·b·(－3a－b)÷(4a·b). 63232
?27?－1－72＋?25?1－1 [解] (1)原式＝???9?2
?1 000?3??
105
＝－49＋－1＝－45. 6分 3351－32－31(2)原式＝－a－b÷(4a·b)
263251－313
＝－a－b÷(ab－) 4632513＝－a－·b－ 422
515ab＝－·＝－2. 12分
44abab3
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|x|指数函数的图像及应用 (1)函数f (x)＝1－e的图像大致是( )
(2)若曲线y＝|2－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．
(1)A [将函数解析式与图像对比分析，因为函数f (x)＝1－e是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．]
(2)曲线y＝|2－1|与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y＝|2－1|与直线y＝b有两个公共点，8分
则b的取值范围是(0,1). 12分
xx|x|
x
[规律方法] 指数函数图像的画法(判断)及应用
(1)画(判断)指数函数y＝a(a＞0，a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，
x?－1，1?. ?a???
(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.
图2-5-1
[变式训练2] (1)函数f (x)＝a小学+初中+高中
x－b的图像如图2-5-1，其中a，b为常数，则下列结论