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kx2?k. f(x)?x??xx'由f'(x)?0解得x?k.

f(x)与f'(x)在区间(0,??)上的情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(0,k)，单调递增区间是(k,??)；

f(x)在x?k处取得极小值f(k)?k(1?lnk). 2k(1?lnk). 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在区间(0,??)上的最小值为f(k)?因为f(x)存在零点，所以

k(1?lnk)?0，从而k?e. 2当k?e时，f(x)在区间(1,e)上单调递减，且f(e)?0， 所以x?e是f(x)在区间(1,e]上的唯一零点.

1e?k?0，f(e)??0， 22当k?e时，f(x)在区间(0,e)上单调递减，且f(1)?所以f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点.

综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点.

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题. 【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数f?x?的单调性与极值的步骤：①确定函数

f?x?的定义域；②对f?x?求导；③求方程f??x??0的所有实数根；④列表格．证明函数

仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．

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(x?1)29.【2015高考福建，文22】已知函数f(x)?lnx?．

2(Ⅰ)求函数f?x?的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当x?1时，f?x??x?1；

（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0?1，当x?(1,x0)时，恒有f?x??k?x?1?． 【答案】(Ⅰ) ?0,?1?5?；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）???,1?． ???2??1?x2?x?1【解析】（I）f??x???x?1?，x??0,???．

xx由f??x??0得??x?02??x?x?1?0解得0?x?1?5． 2?1?5?故f?x?的单调递增区间是?0,． ???2??（II）令F?x??f?x???x?1?，x??0,???．

1?x2则有F??x??．

x当x??1,???时，F??x??0， 所以F?x?在?1,???上单调递减，

故当x?1时，F?x??F?1??0，即当x?1时，f?x??x?1． （III）由（II）知，当k?1时，不存在x0?1满足题意．

当k?1时，对于x?1，有f?x??x?1?k?x?1?，则f?x??k?x?1?，从而不存在x0?1满足题意．

当k?1时，令G?x??f?x??k?x?1?，x??0,???，

?x2??1?k?x?11则有G??x???x?1?k?．

xx由G??x??0得，?x??1?k?x?1?0．

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解得x1?1?k??1?k?22?4?0，x2?1?k??1?k?22?4?1．

当x??1,x2?时，G??x??0，故G?x?在?1,x2?内单调递增． 从而当x??1,x2?时，G?x??G?1??0，即f?x??k?x?1?， 综上，k的取值范围是???,1?． 【考点定位】导数的综合应用．

【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式f(x)?0或f(x)?0求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意f(x)?g(x)与f(x)min?g(x)max不等价，

''f(x)min?g(x)max只是f(x)?g(x)的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷

理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．

10.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设a为实数，函数

f?x???x?a??x?a?a?a?1?．

（1）若f?0??1，求a的取值范围； （2）讨论f?x?的单调性； （3）当a?2时，讨论f?x??24在区间?0,???内的零点个数． x【答案】（1）???,?；（2）f(x)在(a,??)上单调递增，在(??,a)上单调递减；（3）当a?22??1??时，f?x??【解析】

44有一个零点x?2；当a?2时，f?x??有两个零点． xx试题分析：（1）先由f?0??1可得a?a?1，再对a的取值范围进行讨论可得a?a?1的解，进而可得a的取值范围；（2）先写函数f?x?的解析式，再对a的取值范围进行讨论确定

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函数f?x?的单调性；（3）先由（2）得函数f?x?的最小值，再对a的取值范围进行讨论确定f?x??4在区间?0,???内的零点个数． x22试题解析：（1）f(0)?a?a?a?a?a?a，因为f?0??1，所以a?a?1， 当a?0时，0?1，显然成立；当a?0，则有2a?1，所以a?综上所述，a的取值范围是???,?.

211.所以0?a?. 22??1??2??x??2a?1?x,x?a（2）f(x)??

2??x?(2a?1)x?2a,x?a对于u1?x??2a?1?x，其对称轴为x?22a?11?a??a，开口向上， 22所以f(x)在(a,??)上单调递增；

对于u1?x??2a?1?x?2a，其对称轴为x?22a?11?a??a，开口向上， 22所以f(x)在(??,a)上单调递减.

综上所述，f(x)在(a,??)上单调递增，在(??,a)上单调递减.

（3）由（2）得f(x)在(a,??)上单调递增，在(0,a)上单调递减，所以

f(x)min?f(a)?a?a2.

(i)当a?2时，f(x)min令f?x??2??x?3x,x?2?f(2)??2，f(x)??2

??x?5x?4,x?244?0，即f(x)??（x?0）. xx因为f(x)在(0,2)上单调递减，所以f(x)?f(2)??2

44在(0,2)上单调递增，y?f(2)??2，所以y?f(x)与y??在(0,2)无交点. xx4当x?2时，f(x)?x2?3x??，即x3?3x2?4?0，所以x3?2x2?x2?4?0，所

x42以?x?2?(x?1)?0，因为x?2，所以x?2，即当a?2时，f?x??有一个零点x?2.

x而y??(ii)当a?2时，f(x)min?f(a)?a?a，

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