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将x＝1代入y＝x－2中，得y＝－1.

f0＝1，??

由题意知，?f1＝－1，

??f′1＝0，

c＝1，??

即?a＋b＋c＝－1，??4a＋2b＝0，

4

2

解得a＝2，b＝－4，c＝1.因此f(x)＝2x－4x＋1.

剖析 本题错在将切点当做极值点，得到f′(1)＝0的错误结论．其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈．

正解 f′(1)表示函数f(x)的图象在点(1，－1)处的切线斜率，应有f′(1)＝1，再联立f(0)595492

＝1，f(1)＝－1便可得到正确答案：a＝，b＝－，c＝1，因此f(x)＝x－x＋1.

22222．误把零点当极值点

例2 求函数f(x)＝x－x的极值，并说明是极小值还是极大值． 错解 f′(x)＝4x－3x，令f′(x)＝0， 332

即当4x－3x＝0，得x1＝0，x2＝.

4327

所以f(0)＝0，f()＝－，

4256

327

又f()

4256

剖析 本题错在将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值．事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值． 正解 f′(x)＝4x－3x，令f′(x)＝0， 332

即4x－3x＝0时，得x1＝0，x2＝.

4

当x变化时，f(x)、f′(x)的变化情况如下表：

3

2

3

24

3

x f′(x) f(x)

(－∞，0) － ↘ 0 0 不是极值点 3(0，) 4－ ↘ 3 40 极小值 3(，＋∞) 4＋ ↗ 3

由上表可知，函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，)上还是减函数，所以x433

＝0不是函数的极值点，而函数f(x)在区间(0，)上是减函数，在区间(，＋∞)上是增函数，

44

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所以函数f(x)在x＝327

4处取得极小值，极小值为－256

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3．误把必要不充分条件当作充要条件

例3 已知f(x)＝ax＋3x－x＋1在R上是减函数，求实数a的取值范围． 错解 f′(x)＝3ax＋6x－1. ∵f(x)在R上是减函数，

∴f′(x)<0，即3ax＋6x－1<0在x∈R上恒成立， ∴a<0且Δ＝36＋12a<0，因此a<－3.

剖析 f(x)在R上是减函数是f′(x)<0的必要不充分条件，而不是充要条件，实际上f(x)在R上是减函数可能存在着f′(x)＝0的情况，只要f′(x)不恒为0即可，本题可采用先由

223

2

f′(x)≤0求解，然后验证f′(x)＝0的特殊情况即可．

正解 由f′(x)≤0，即不等式3ax＋6x－1≤0在x∈R上恒成立，于是a<0且Δ＝36＋12a≤0，解得a≤－3.

13832

当a＝－3时，f(x)＝－3x＋3x－x＋1＝－3(x－)＋，显然是R上的减函数，故a≤－3

39符合题意．

点评 上述三个例题虽然错误根源不同，但为了防止出错，我们应该正确理解有关概念，掌握概念之间的区别和联系．在例3中我们应加强检验的意识．

2

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