[优质]2020年高中数学第三章导数及其应用疑难规律方法学案苏教版选修1 - 1-优质资料 下载本文

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将x=1代入y=x-2中,得y=-1.

f0=1,??

由题意知,?f1=-1,

??f′1=0,

c=1,??

即?a+b+c=-1,??4a+2b=0,

4

2

解得a=2,b=-4,c=1.因此f(x)=2x-4x+1.

剖析 本题错在将切点当做极值点,得到f′(1)=0的错误结论.其实,虽然切点和极值点都与导数有关,但它们却是两个完全不同的概念,不能混为一谈.

正解 f′(1)表示函数f(x)的图象在点(1,-1)处的切线斜率,应有f′(1)=1,再联立f(0)595492

=1,f(1)=-1便可得到正确答案:a=,b=-,c=1,因此f(x)=x-x+1.

22222.误把零点当极值点

例2 求函数f(x)=x-x的极值,并说明是极小值还是极大值. 错解 f′(x)=4x-3x,令f′(x)=0, 332

即当4x-3x=0,得x1=0,x2=.

4327

所以f(0)=0,f()=-,

4256

327

又f()

4256

剖析 本题错在将导数为零的点都认为是极值点,其实不然,导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件,错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值.事实上,极值仅描述函数在该点附近的局部特征,极大值未必一定大于极小值. 正解 f′(x)=4x-3x,令f′(x)=0, 332

即4x-3x=0时,得x1=0,x2=.

4

当x变化时,f(x)、f′(x)的变化情况如下表:

3

2

3

24

3

x f′(x) f(x)

(-∞,0) - ↘ 0 0 不是极值点 3(0,) 4- ↘ 3 40 极小值 3(,+∞) 4+ ↗ 3

由上表可知,函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,)上还是减函数,所以x433

=0不是函数的极值点,而函数f(x)在区间(0,)上是减函数,在区间(,+∞)上是增函数,

44

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所以函数f(x)在x=327

4处取得极小值,极小值为-256

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3.误把必要不充分条件当作充要条件

例3 已知f(x)=ax+3x-x+1在R上是减函数,求实数a的取值范围. 错解 f′(x)=3ax+6x-1. ∵f(x)在R上是减函数,

∴f′(x)<0,即3ax+6x-1<0在x∈R上恒成立, ∴a<0且Δ=36+12a<0,因此a<-3.

剖析 f(x)在R上是减函数是f′(x)<0的必要不充分条件,而不是充要条件,实际上f(x)在R上是减函数可能存在着f′(x)=0的情况,只要f′(x)不恒为0即可,本题可采用先由

223

2

f′(x)≤0求解,然后验证f′(x)=0的特殊情况即可.

正解 由f′(x)≤0,即不等式3ax+6x-1≤0在x∈R上恒成立,于是a<0且Δ=36+12a≤0,解得a≤-3.

13832

当a=-3时,f(x)=-3x+3x-x+1=-3(x-)+,显然是R上的减函数,故a≤-3

39符合题意.

点评 上述三个例题虽然错误根源不同,但为了防止出错,我们应该正确理解有关概念,掌握概念之间的区别和联系.在例3中我们应加强检验的意识.

2

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