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1.3 三角函数的诱导公式（一）

学习目标.1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.

设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α). 知识点一.诱导公式二

思考.角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点

P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关

系？

答案.角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式二

sin?π＋α?＝－sin α， cos?π＋α?＝－cos α， tan?π＋α?＝tan α. 知识点二.诱导公式三

思考.角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？ 答案.角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式三

sin?－α?＝－sin α， cos?－α?＝cos α， tan?－α?＝－tan α. 知识点三.诱导公式四 思考.角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点

P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函之间

有什么关系？

.

.

答案.角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式四

sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. 梳理.公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：

2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.

类型一.利用诱导公式求值 命题角度1.给角求值问题 例1.求下列各三角函数式的值.

11π43π(1)cos 210°；.(2)sin ；(3)sin(－)；.(4)cos(－1 920°).

46解.(1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－

3. 2

11π3π(2)sin＝sin(2π＋) 443ππ

＝sin＝sin(π－) 44π2＝sin＝. 42

43π7π(3)sin(－)＝－sin(6π＋) 667πππ1

＝－sin＝－sin(π＋)＝sin＝.

6662(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°)

.

.

1

＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 2反思与感悟.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或三来转化.

(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1.求下列各三角函数式的值.

?31π?；.(3)tan(－945°).

(1)sin 1 320°；.(2)cos?－

6???

解.(1)方法一.sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－3

. 2

方法二.sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－3. 2

?31π?＝cos31π＝cos?4π＋7π?

(2)方法一.cos?－?6?6?6????

ππ3＝cos(π＋)＝－cos ＝－. 662

?31π?＝cos?－6π＋5π?

方法二.cos?－?6?6?????

π?π3?＝cos?π－?＝－cos＝－. 6?62?

(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 命题角度2.给值求角问题

π

例2.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(..)

2ππππA.－ B.－ C. D.

6363答案.D

π解析.由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<，

2π

可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<，

2

.

.

ππ

即tan θ＝3，|θ|<，∴θ＝.

23

反思与感悟.对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.

跟踪训练2.已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.

?sin α＝2sin β， ①

解.由题意，得?

?3cos α＝2cos β. ②

①＋②，得sinα＋3cosα＝2， 即sinα＋3(1－sinα)＝2， 122

∴sinα＝，∴sin α＝±.

22∵0<α<π，∴sin α＝π3

∴α＝或α＝π.

44

2

， 2

2

2

2

2

2

2

π333

把α＝，α＝π分别代入②，得cos β＝或cos β＝－. 4422π5

又∵0<β<π，∴β＝或β＝π.

66ππ35

∴α＝，β＝或α＝π，β＝π.

4646类型二.利用诱导公式化简 例3.化简下列各式.

tan?2π－α?sin?－2π－α?cos?6π－α?

(1)；

cos?α－π?sin?5π－α?(2)1＋2sin 290°cos 430°

. sin 250°＋cos 790°

sin?2π－α?

·sin?－α?cos?－α?

cos?2π－α?

解.(1)原式＝

cos?π－α?sin?π－α?＝

－sin α?－sin α?cos αsin α

＝－＝－tan α.

cos α?－cos α?sin αcos α

1＋2sin?360°－70°?cos?360°＋70°?

sin?180°＋70°?＋cos?720°＋70°?

(2)原式＝＝

1－2sin 70°cos 70°|cos 70°－sin 70°|

＝

－sin 70°＋cos 70°cos 70°－sin 70°

.