【例2】 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝( )

A．3 C．1

B．2 D．0

C [因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(－2 017)＝－f(2 017)， 因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，

所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．

又当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1， ∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，

f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.

故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.]

【素养提升练习】 (2019·山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－

1

f?11?，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f?－?＝________.

x?2?

51 [∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)， 2fx?11??5?∴f?－?＝f??，又2≤x≤3时，f(x)＝x， ?2??2??5?5?11?5∴f??＝，∴f?－?＝.] ?2?2?2?2

抽象函数的对称性

已知函数f(x)是定义在R上的函数．

(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图像关于直线x＝

a＋b2

对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．

(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图像关于点(a,0)对称．

【例3】 函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图像关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________．

4 [因为函数y＝f(x－1)的图像关于点(1,0)对称， 所以函数y＝f(x)的图像关于原点对称， 所以f(x)是R上的奇函数，

9

则f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4. 所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，

所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0， 所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.]

【素养提升练习】 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x－2x－3|

m2

与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则∑xi＝( )

i＝1

A．0 C．2m

B．m D．4m

B [∵函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)， 故函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，

函数y＝|x－2x－3|的图像也关于直线x＝1对称，

故函数y＝|x－2x－3|与y＝f(x)图像的交点也关于直线x＝1对称，且相互对称的两

22

m－1点横坐标和为2.当f(x)不过点(1,4)时，∑xi＝×2＝m，当f(x)过点(1,4)时，∑xi＝

22i＝1i＝1

×2＋1＝m.

mmmm综上，∑xi＝m.]

i＝1

10