法二：(特例法)
?π?由题意可设f(x)＝2sin?x?，作出f(x)的部分图像如图所示．由图可知，f(x)的一个?2?
周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋
f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.]
(1)函数的奇偶性与对称性的关系
①若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则其函数图像关于直线x＝a对称；当a＝0时可以得出f(x)＝f(－x)，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．
②若函数f(x)满足f(2a－x)＝2b－f(x)，则其函数图像关于点(a，b)对称；当a＝0，
b＝0时得出f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．
(2)函数的对称性与周期性的关系
①若函数f(x)关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是2|b－a|. ②若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2|b－a|. ③若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4|b－a|. (3)函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
①函数f2|a|.
①函数fx2|a|.
①函数f4|a|.
①函数fx4|a|.
其中a≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．
[教师备选例题]
(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是( )
A．增函数 C．先增后减的函数
B．减函数 D．先减后增的函数
是偶函数；②函数图像关于点是奇函数；②函数图像关于点
x是偶函数；②函数图像关于直线x＝a对称；③函数的周期是
a，0对称；③函数的周期是
x是奇函数；②函数图像关于直线x＝a对称；③函数的周期是
a，0对称；③函数的周期是
(2)已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函
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数，有下列命题：
①函数f(x)的图像关于直线x＝4k＋2(k∈Z)对称； ②函数f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)； ③函数f(x)在区间(－2 018,2 018)上恰有1 008个极值点；
④若关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8.
其中真命题的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
(1)D (2)C [(1)根据题意，因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.又因为f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，所以函数f(x)在[0,1]上是增函数，所以函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，所以f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.
(2)①正确，∵定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f[(x－4)－4]＝－f(x－4)＝f(x)，即f(x－8)＝f(x)，∴f(x)是以8为周期的周期函数，8k(k∈Z且k≠0)也是其周期．又f(x)为R上的连续奇函数，由f(x－4)＝－f(x)，即f(x)＝－f(x－4)，得
f(x)＝f(4－x)，
4
∴函数f(x)的一条对称轴为x＝＝2.
2又8k(k∈Z且k≠0)是f(x)的周期， ∴f(x)＝f(x＋8k)＝f(4－x)，
8k＋4
∴函数的对称轴为x＝＝4k＋2(k∈Z且k≠0)．
2
综上，函数f(x)的图像关于直线x＝4k＋2(k∈Z)对称，故①正确； ②错误，作图如下：
由图可知，函数f(x)的单调递减区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)，故②错误；
③正确，由图可知，f(x)在一个周期内有两个极值点，在区间(－2 016,2 016)上有504个完整周期，有1 008个极值点，在区间(－2 018，－2 016]和[2 016，2 018)上没有极值点，故在区间(－2 018，2 018)上有1 008个极值点，③正确；
④正确，由图中m1，m2，m3，m4，m5五条直线可知， 关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8，故④正确．
综上所述，①③④正确，故选C.]
1.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－
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x＋1
f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则∑ (xixi＝1
＋yi)＝( )
A．0 C．2m
B．m D．4m
mB [函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝2，可得f(x)的图像关于点(0,1)对称，函数y＝
x＋11x＋1
，即y＝1＋的图像关于点(0,1)对称，∴函数y＝与yxxx＝f(x)图像的交点也关于(0,1)对称，关于(0,1)对称的两个点的横坐标和为0，纵坐标和为2.
当交点不在对称轴上时，m为偶数，
mmm∴∑ (xi＋yi)＝∑xi＋∑yi＝0×＋2×＝m；
22i＝1i＝1i＝1
mi＝1
mi＝1
mi＝1
mm当有交点在对称轴上时，m为奇数，则∑ (xi＋yi)＝∑xi＋∑yi＝0×＋1＝m.
mm－1
2
＋0＋2×
m－1
2
综上，∑ (xi＋yi)＝m.]
i＝1
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
D [因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，
f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数， 所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．] 课外素养提升② 数学运算——用活函数性质中的三个结论
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展．通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化
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的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．
奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
x＋12＋sin x【例1】 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝
x2＋1
________.
2 [显然函数f(x)的定义域为R，
x＋12＋sin x2x＋sin xf(x)＝＝1＋， 2
x＋1x2＋1
2x＋sin x设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
x2＋1∴g(x)为奇函数，
由奇函数图像的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]
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【素养提升练习】 已知函数f(x)＝ln(1＋9x－3x)＋1，则f(lg 2)＋flg ＝
2
( )
A．－1 C．1
2
B．0 D．2
D [设g(x)＝ln(1＋9x－3x)，易知函数的定义域为R，关于原点对称，
∵g(x)＋g(－x)＝ln(1＋9x－3x)＋ln(1＋9x＋3x)＝ln(1＋9x－3x)(1＋9x＋3x)＝ln 1＝0，
∴g(x)为奇函数，
1
∴g(lg 2)＋glg ＝g(lg 2)＋g(－lg 2)＝0，
2又∵f(x)＝g(x)＋1，
11
∴f(lg 2)＋flg ＝g(lg 2)＋1＋glg ＋1＝2.]
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抽象函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a. (2)如果f(x＋a)＝
1
2
2
2
2
fx(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
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