试证明 ???acos?(t??) 其中?a??12??22?2?1?2cos(?2??1)，??arctan证明：???1cos(?t??1)??2cos(?t??2) ??1cos?tco?s1??1 ?co?st?(1?1sin?1??2sin?2
?1cos?1??2cos?2sit?n2s?in?1?2tc?os2??cost?s in?sin2? sinc?o1s???co2?s?)t?sin??1?(1sin2?)设 A??1cos?1??2cos?2 ，B??(?1sin?1??2sin?2)
B则 ??Acos?t?Bsin?t=A2?B2cos(?t??) （其中??arctan(?)）
A又 A2?B2??12cos2?1??22cos2?2?2?1?2cos?1cos?2
22 ??12sin?1??22sin?2??21?2si?n1 s?i2n ??12??22?2?1?2(cos?1cos?2?sin?1sin?2) ??12??22?2?1?2cos(?2??1)
B?1sin?1??2sin?2又 ??arcta?n(?a)rctan )(A?1cos?1??2co?s2 令 ?a?A2?B2??12??22?2?1?2cos(?2??1) 则 ???acos?(t??)
1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示
???1cosw1t??2cosw2t (w2?w1)
试证明
???acos(w1t??)，
其中?a??1??2?2?1?2cos(?wt),??arctan22?2sin(?wt),?w?w1?w2.
?1??2cos(?wt)解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知，
?a??12??22?2?1?2cos(w2t?w1t)
??1??2?2?1?2cos(?wt)
22其中，?w?w2?w1。 由三角形面积知，
11?1?2sin?wt??1?asin? 22得 sin???2sin?wt ?a?2sin?wt?a??2sin?wt?2sin?wt(?1??2cos?wt)2得 tg??222
?
??2sin?wt
?1??2cos?wt故 ??即可证。
?2sin?wt
?1??2cos?wt1-10 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.
证 由胡克定理得 mg＝Kmξ1 ? Km＝mg/ξ1 由质点振动系统固有频率的表达式f0?12?KmKmmg得，Mm?. ?2222Mm4?f04?f0?1纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.
1-11 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm
上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。
解：由 f0?12?Km 得 Km?(2?f0)2Mm MmKm 得 Km?(2?f0?)2(Mm?m,)
Mm?mmf0?f02 由 f0??12?联立两式，求得Mm?4?2mf0f0?，Km? 222?f0?f0?f0?2221-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，
并求出它们的等效弹性系数。
图 1-2-3
图 1-2-4
K1mK2mK1mK2md2?解： 串接时，动力学方程为Mm，等效弹性系数为。 K????0K1m?K2mK1m?K2mdt2d2?并接时，动力学方程为Mm2?(K1m?K2m)??0，等效弹性系数为K?K1m?K2m。
dt1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm可称0～1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？
解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为g?9.8ms2，月球表面的重力加速度为
g?
由虎克定律知 FM??Kx,又 FM??Mg 则 K?Mg1?g??10g x0.1T?又
2??0?2?10g10?9.8M?2.5kg ?1 则M?2?24?4?Kx1? 则 x??0.04m x?0.4Kx??4?2?0.04?1.58ms2 Mg??Kx?则g??M故月球表面的重力加速度约为1.58ms2，而该岩石的实际质量约为2.5kg。 1-14 试求证
acos?t?acos(?t??)?acos(?t?2?)???acos(?t?(n?1)?)
sinn?a?2cos??t?(n?1)??
???2??sin2证 aej?t?aej(?t??)?aej(?t?2?)???aej(?t?(n?1)?)
?aej?t(1?ej??) ?aej?t1?ejn?j?t1?cosn??jsinn? ?aej?1?cos??jsin?1?en?n?n?n??jsinn?sinsin?jcos22?22 ?aej?t????2sin2?jsin?sinsin?jcos2222n??j(??n?)n?n?sinsinsinn?1n?122j?j(?t??)j?t2?e222 ?ae?e2?a?e2sin2sin?aej?t?aej?t?2e?1?j(??)22sin?2sin?2同时取上式的实部，结论即可得证。
1-15 有一弹簧Km在它上面加一重物Mm，构成一振动系统，其固有频率为f0， (1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？
(2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率f0不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ 解：固有频率fo?12?Km。 Mm（1）f0?f0K ? Km?m，故应该另外串接三根相同的弹簧； 24M??Mm?m（2）?2 ? Km?2Km，故应该另外并接一根相同的弹簧。
??f0?f01-16 有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为Mm，弹性系数为Km。试求该扬声器的固有频率。 解：该扬声器的固有频率为 f0?1Km。
2πMm1-17 原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：
（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0’；
（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （3）在经过1s后，系统具有的平均能量。 解：（1）由胡克定理知，Km＝mg/ε