307301095

习题1

1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f，质量为m，求它的弹性系数。

解：由公式fo?12?Km得： MmKm?(2?f)2m

1-2 设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：

（1） 当这一质点被拉离平衡位置?时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？ （答：f0?12?g，g为重力加速度） l

图 习题1－2

解：（1）如右图所示，对Mm作受力分析：它受重力Mmg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两

力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为?，则sin??受力分析可得：F?Mmgsin??Mmg?l

?l

（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位

d2?移的方向相反。由牛顿定律可知：F??Mm2

dt

d2??d2?g则 ?Mm2?Mmg 即 2???0,

dtldtl ? ?02?g1 即 f0?l2πg, 这就是小球产生的振动频率。 l

1-3 有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x0处，挂着一质量Mm，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置?时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ (2) 当外力去掉后，质量Mm在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？ (3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对Mm进行受力分析，见右图，

Fx?Tl?x0(l?x0)??22

?Tx0x??202?0

22??2?x0,(l?x0)2??2?(l?x0)2 。（????x0 ，?x0）

Fy?T?(l?x0)2??2?T?2x0??2

图 习题1-3

?T?l?x0?T?x0

?Tl?

x0(l?x0)Tl。

x0(l?x0)可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统，质量M?Mm，弹性系数k?（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F?Tl?，方向为竖直向下。

x0(l?x0)（2）振动频率为??K?MTl。

x0(l?x0)Mml时，系统的振动频率最低。 2（3）对?分析可得，当x0?1-4 设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的x0位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移?0以保持力的平衡，并假定M

离平衡位置?0的振动?位移很小，满足????0条件。

图 习题1－4

2Tcos??Mg???4???0?Mg 解：如右图所示，受力分析可得 cos??0??l1?l?2?又????0，T'?T，可得振动方程为 ?2T?0??l2d2??M2

dtd2?4T4T?????0 即 Mdt2ll? f?12?4Tl1?M2?Mg1??0M2?g?0

1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。 解：设振动位移???acos(?0t??)， 速度表达式为v???0?asin(?0t??)。 由于?t?0??0，vt?0?0，

代入上面两式计算可得：

???0cos?0t ；

v???0?0sin?0t。

振动能量E?11222Mmva?Mm?0?a。 221-6 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为v0，试求其振动位移、速度、和能量。 解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为Km，质量为Mm，取正方向沿x轴，位移为?。

d2?Km22????0, 则质点自由振动方程为 （其中??,） 002dtMm 解得 ???acos(?0t??0),

v?d????0?asin(?0t??0??)??0?acos(?0t??0?) dt21?222?????v???cos?a000??0a0当?v???0t?0??0，vt?0?0时， ???v?? ??0??0?acos(?02)?v0???0?arctan?0?0质点振动位移为??1??2?2200?v0cos(?v00t?arctan)

0?0?0质点振动速度为v??2?22v0?00?v0cos(?0t?arctan???)

002质点振动的能量为E?12Mv21222ma?2Mm(?0?0?v0) 1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、?sin?t?12sin2?t，试问：

(1) 在什么时候位移最大？ (2) 在什么时候速度最大？

解：???sin?t?12sin2?t，

?d?dt??cos?t??cos2?t

d2?dt2???2sin?t?2?2sin2?t。 令

d?dt?0，得：?t?2k???3或?t?2k???， 经检验后得：t?2k???3?时，位移最大。

令d2?dt?0，得： ?t?k?或?t?2k??arccos(?124)，

经检验后得：t?2k??时，速度最大。

1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示

???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)

不同振幅振动的叠加

?

试证明 ???acos?(t??) 其中?a??12??22?2?1?2cos(?2??1)，??arctan证明：???1cos(?t??1)??2cos(?t??2) ??1cos?tco?s1??1 ?co?st?(1?1sin?1??2sin?2

?1cos?1??2cos?2sit?n2s?in?1?2tc?os2??cost?s in?sin2? sinc?o1s???co2?s?)t?sin??1?(1sin2?)设 A??1cos?1??2cos?2 ，B??(?1sin?1??2sin?2)

B则 ??Acos?t?Bsin?t=A2?B2cos(?t??) （其中??arctan(?)）

A又 A2?B2??12cos2?1??22cos2?2?2?1?2cos?1cos?2

22 ??12sin?1??22sin?2??21?2si?n1 s?i2n ??12??22?2?1?2(cos?1cos?2?sin?1sin?2) ??12??22?2?1?2cos(?2??1)

B?1sin?1??2sin?2又 ??arcta?n(?a)rctan )(A?1cos?1??2co?s2 令 ?a?A2?B2??12??22?2?1?2cos(?2??1) 则 ???acos?(t??)

1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示

???1cosw1t??2cosw2t (w2?w1)

试证明

???acos(w1t??)，

其中?a??1??2?2?1?2cos(?wt),??arctan22?2sin(?wt),?w?w1?w2.

?1??2cos(?wt)解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知，

?a??12??22?2?1?2cos(w2t?w1t)

??1??2?2?1?2cos(?wt)

22其中，?w?w2?w1。 由三角形面积知，

11?1?2sin?wt??1?asin? 22得 sin???2sin?wt ?a?2sin?wt?a??2sin?wt?2sin?wt(?1??2cos?wt)2得 tg??222

?

??2sin?wt

?1??2cos?wt故 ??即可证。

?2sin?wt

?1??2cos?wt1-10 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.

证 由胡克定理得 mg＝Kmξ1 ? Km＝mg/ξ1 由质点振动系统固有频率的表达式f0?12?KmKmmg得，Mm?. ?2222Mm4?f04?f0?1纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.

1-11 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm

上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。

解：由 f0?12?Km 得 Km?(2?f0)2Mm MmKm 得 Km?(2?f0?)2(Mm?m,)

Mm?mmf0?f02 由 f0??12?联立两式，求得Mm?4?2mf0f0?，Km? 222?f0?f0?f0?2221-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，

并求出它们的等效弹性系数。

图 1-2-3

图 1-2-4

K1mK2mK1mK2md2?解： 串接时，动力学方程为Mm，等效弹性系数为。 K????0K1m?K2mK1m?K2mdt2d2?并接时，动力学方程为Mm2?(K1m?K2m)??0，等效弹性系数为K?K1m?K2m。

dt1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm可称0～1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？

解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为g?9.8ms2，月球表面的重力加速度为

g?

由虎克定律知 FM??Kx,又 FM??Mg 则 K?Mg1?g??10g x0.1T?又

2??0?2?10g10?9.8M?2.5kg ?1 则M?2?24?4?Kx1? 则 x??0.04m x?0.4Kx??4?2?0.04?1.58ms2 Mg??Kx?则g??M故月球表面的重力加速度约为1.58ms2，而该岩石的实际质量约为2.5kg。 1-14 试求证

acos?t?acos(?t??)?acos(?t?2?)???acos(?t?(n?1)?)

sinn?a?2cos??t?(n?1)??

???2??sin2证 aej?t?aej(?t??)?aej(?t?2?)???aej(?t?(n?1)?)

?aej?t(1?ej??) ?aej?t1?ejn?j?t1?cosn??jsinn? ?aej?1?cos??jsin?1?en?n?n?n??jsinn?sinsin?jcos22?22 ?aej?t????2sin2?jsin?sinsin?jcos2222n??j(??n?)n?n?sinsinsinn?1n?122j?j(?t??)j?t2?e222 ?ae?e2?a?e2sin2sin?aej?t?aej?t?2e?1?j(??)22sin?2sin?2同时取上式的实部，结论即可得证。

1-15 有一弹簧Km在它上面加一重物Mm，构成一振动系统，其固有频率为f0， (1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？

(2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率f0不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ 解：固有频率fo?12?Km。 Mm（1）f0?f0K ? Km?m，故应该另外串接三根相同的弹簧； 24M??Mm?m（2）?2 ? Km?2Km，故应该另外并接一根相同的弹簧。

??f0?f01-16 有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为Mm，弹性系数为Km。试求该扬声器的固有频率。 解：该扬声器的固有频率为 f0?1Km。

2πMm1-17 原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：

（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0’；

（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （3）在经过1s后，系统具有的平均能量。 解：（1）由胡克定理知，Km＝mg/ε

所以 Km＝0.2×9.8/0.04=49N/m

e???1/e???1

故 ??Rm2M?Rm?1N?s/m mw'?w2'14900???f0?2?0.5?1?1.57Hz （2）系统所具有的能量E?12K?1m?22?49?0.042?0.0392J （3）平均能量E?12K?2?tm0e?2?5.31?10?3J 1-18 试求当力学品质因素Qm?0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻??0，讨论解的结果。

解：系统的振动方程为：

Md2?d?mdt2?Rmdt?Km??0

进一步可转化为，设??Rm2M， md2?d?2dt2?2?dt????0 设：

??ei?t

于是方程可化为：

(??2?2j????20)ej?t?0

解得：??j(???2??20) ? ??e?(???2??02)t

方程一般解可写成：

??e??t(Ae?2??02t?Be??2??02t)

?存在初始条件：

?t?0?0，vt?0?v0

代入方程计算得：

v?v0，试A????tv02???220，B?v02???220

?解的结果为： ??e其中A??v02???220(Ae2?2??0t?Be。

2??2??0t)

，B?v02???2201-19 有一质点振动系统，其固有频率为f1，如果已知外力的频率为f2，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。

解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 已知 f0?50Hz，f?300Hz

24?2f02(50)2KM?01)(?MM)＝2?则 ( ?2?22??2??MM?4?f(300)36KM?，质量抗为?MM

KM11-20 有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg，弹性系数为150N/m的弹簧上，试问： (1) 这系统的固有频率为多少？

(2) 如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？ (3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？ (4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？ 解：(1) 考虑弹簧的质量，f0?12?Km1?Mm?Ms/32?150?2.76Hz.

0.4?0.3/3(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms / 3.

??Rm2Mm'?5?5，f'?1?2??2?1002?0.52?2?'?0Mm150?52?2.64Hz.

0.4?0.3/3(3) 品质因素Qm?Rm?16.58?0.5?1.66， 512Qm2位移共振频率：fr?f0'1??2.39Hz.

(4) 速度共振频率：fr?f0'?2.64Hz， 加速度共振频率：fr?Qmf0'1?12Qm2?2.92Hz.

1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与

总的振动能量之比等于

2?。 Qm解：系统每个周期损耗的能量

E?WFT?12RmvaT 212RmvaTRE2 ? ??m，

E1fMm2Mmva2发生速度共振时，f?f0。

?

RmE2?2?。 ????MEf0MmQm0mRm1-22 试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率f0；（2）假定f1与f2为在f0两侧，其平均损耗功率比f0下降一半时所对应的两个频率，则有

Qm?f0. f2?f11T12Wdt??Rv （Rm为力阻，va为速度振幅） RmaT?02质点强迫振动时的速度振幅为

证明：（1）平均损耗功率为

WR?va?FaQmz?0Mmz?(z?1)Q?f?） ?0f02222m,(Fa为外力振幅，?0为固有频率，Mm为质量，Qm为

力学品质因素，频率比z?当z=1即f?f0时，发生速度共振，va取最大值，产生最大的平均损耗功率。

12（2）WR??Rmva

2 WRmax21Fa2Qm12??Rmvamax＝?Rm22

22?0Mm22Fa2Qm11Fa2Qm1122 WR=WRmax 则 ?Rmva＝?(?Rm22) 即2va＝22（1）

22?0Mm22?0Mm 把va?FaQmz2?0Mmz2?(z2?1)2Qm2，则z2?(z2?1)2Qm（2） ,带入式（1）

由式（2）得?z?(z?1)Qm解得z?22?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm取z1?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm

z?(z2?1)Qm解得z?则 z2?z1?2Qm 取z2?2Qm

fff?f11即2?1?21? Qmf0f0f0Qmf0 f2?f1? Qm?1-23 有一质量为0.4㎏的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻为2N·s/m，作用在重物上的外力为FF?5cos8tN。

（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；

（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？

d2?d??Km??FF，得 解：（1）由强迫振动方程Mm2?Rmdtdtd2?d?0.42?2?160??5cos8t

dtdt则位移振幅?a?Fa(Km?wMm)?wRm2222?0.0369m

速度振幅va?w?a?0.296m/s 加速度振幅aa?w2?a?2.364m/s2

12平均损耗功率P??Rmva??0.0876(w)

2（2）速度共振时fr?f0'?则位移振幅?a?12?KmR?(m)2?3.158Hz Rm2MmFa(Km?wMm)?wRm2222?0.126m

速度振幅va?w?a?2.495m/s 加速度振幅aa?w2?a?49.6m/s2

12平均损耗功率P??Rmva??6.225(w)

2

??v?0 1-24 试求出图1-4-1所示单振子系统，在t?0，初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论??0与当???0时解的结果。

解：对于强迫振动，解的形式为：

'???0e??tcos(?0t??0)??acos(?t??)

??0两种情形下，

其中?a?Fa?，???0?。

2?Zm 初始条件：??0，v?0， 代入得：

?0cos?0??acos??0

'???0cos?0??0?0sin?0???asin??0

解得：

?0??a222,22 ?(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???(cos?)0'?0'?0cos?2222'202?0???arccos?(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???(cos?)

,2(cos?)2 令G??2(cos?)2??(sin?)2?2??cos?sin???0得：

???a'Ge??tcos(?0t??0)??acos(?t??)。 '2?0Xm??'?，???0?，?0??，

2Rm2当??0时，Rm?0，?0?arctan?0???2，?0??a，

(0t?? ???acos??2)??acos?(t??)

???a(sin?0t?cos?t)。

当???0时，?a??，达到位移共振。

11-25 有一单振子系统，设在其质量块上受到外力Ff?sin2?0t的作用，试求其稳态振动的位移振

2幅。

解：此单振子系统的强迫振动方程为

d2?d?111Mm2?Rm?Km??FF(t)?sin2(?0t)??cos?0t

dtdt222d2?d?1?则 Mm2?Rm?K? （1） mdtdt2d2?d?1Mm2?Rm?Km??cos?0t （2）

dtdt2 由式（1）得 ??1 2Km 令???Fej?t代入式（2）得 ?F??j???12Km?)?0??

?0?Rm?j(?0Mm?122?0?Rm?(?0Mm?则 ?F???Km?)2??0?12＝

1 2?0Rm ? ?A?11? 2Km2?0Rm1-26 试求如图所示振动系统，质量块M的稳态位移表示式.

K1,R1MFaejwtK2,R2

解：对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为：

???(R?R)???(K?K)??Fejwt M?1212a该方程式稳态解的一般形式为???aejwt，将其代入上式可得：

?a?Fajw[(R1?R2)?j(M??K1?K2?|?a|?e)]j(??0)2?

?其中|?a|?FaK?K2???(R1?R2)??M??1????22M??K1?K2，?0?arctan?R1?R2.

故质量块的稳态位移表示式可以写为：

??|?a|cos(wt??2??0).

1-27 设有如图所示的耦合振动系统，有一外力F1?Faej?t作用于质量M1上。M1的振动通过耦合弹簧K12引起M2也随之振动，设M1和M2的振动位移与振动速度分别

图 1-4-1

为?1，v1与?2，v1。试分别写出M1和M2的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时

v1?其中

Z2?Z12Z12F1与v2?F1。

Z1Z2?(Z1?Z2)Z12Z1Z2?(Z1?Z2)Z12Z1?j(?M1?K1?K2)?R1，

Z2?j(?M2??)?R2，

Z12??jK12?。

图 习题1-27

解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程：

d2?1d?1d2?2d?2M12?R1?K1?1?K12(?1??2)?F1M2?R?K2?2?K12(?2??1)?0 22dtdtdtdt设：

?1?Aej?t，?2?Bej?t

v1?V1ej?t，v2?V2ej?t

于是方程可化为：

A(?M1?2?j?R1?K1?K12)?BK12?Fa B(?M2?2?j?R2?K2?K12)?AK12?0

设：

Z1?j(?M1?K1)?R1，Z2?j(?M2?K2)?R2，Z12??jK12???。

?对上面的两个方程整理并求解可得

v1?Z2?Z12F1

Z1Z2?(Z1?Z2)Z12Z12F1

Z1Z2?(Z1?Z2)Z12v2?1-28 有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：

Fa?Apa?，

其中A为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式)，pa为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？

解：压差式传声器产生的作用力振幅为Fa?Apa?，其中A，pa为常数，则Fa随?变化。

电动换能方式传声器，其开路电压输出为E?Blv，要使E均匀恒定，则要v恒定 系统处在质量控制区时va?FaAP?a?MmMm，此时va与频率?无关，故在一较宽的频率范围内，

传声器将产生均匀的开路电压输出。

1-29 对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式(电容式)，其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？

解：传声器开路输出电压E与振膜位移有如下关系：

E?E0? D?只有在力阻控制区，

??FaApa， ??RmRm即在此控制区，输出电压E与频率?无关。

?传声器的振动系统应工作在力阻控制区。

1-30 有一小型动圈扬声器，如果在面积为S0的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为Rr??0C0S0（参见§5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为

恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？

解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为 W?1122Rrva＝?0C0S0va 222 其中?0，C0，S0均为常数，要使W均匀，则va应不受的W影响。故振动系统应工作在力阻

控制区，此时va?Fa（其中Fa为频率恒定的外力，Rm也恒定）。 Rm1-31 有一如图所示的供测试用动圈振动台，台面Mm由弹簧Km支撑着，现欲范围内，在音圈上施加对频率恒定的电流

式

在较宽的频率时，能使台面应工作在何种

Mm产生均匀的加速度，试问其振动系统振动控制状态？为什么？

图 习题1-31

解：音圈通以I电流时，在磁场下产生电动力F?BIL，由F?Mma可见，只有在质量控制区a?时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。

1-32 有一试验装置的隔振台，×103㎏，台面由四组相同的弹簧支成。已知每只弹簧在承受最大负荷为该隔振系统的固有频率，并问当外界为20Hz时，隔振台Mm将产生多大的

解：每只弹簧的劲度系数K=600每组弹簧的总劲度K1=K/2

四组弹簧并联后的劲度K2=4 K1=2 K =3.92×105 N/m 则固有频率f0?FaMm如图所示，已知台面的质量Mm=1.5撑，每组由两只相同的弹簧串联而600㎏时，产生的位移3㎝，试求基础振动的位移振幅为1㎜、频率位移振幅？

×9.8/0.03=1.96×105N/m 12?K2?2.57Hz M'???K(???)?0，将???ejwt，???ejwt代入得， 由振动方程Mm?m0a0aK?a?a??0.0168㎜ 2K?wM'1-33 设有如图所示的主动隔声系统，有一外力F0=F10ejωt作用于质量块Mm上，试求传递在基础上力F与F0的振幅比.

F0MmFKm , Rm

解：对质量块进行受力分析，可得质量块Mm的振动方程为：

???R???K??Fejwt Mm?mm10其稳态解的一般形式为???acos(?t??).

F10??|Zm|F10其中?a??Rm2K?????Mm?m????2，??arctan?Mm?RmKm?.

弹簧传递给基础的作用力为F?Km???Km?acos(?t??)，则Fa??aKm. 由此传递给基础的力F与F0的振幅比DF?Fa?F10Km?Rm2???Mm???Km????2.

1-34 有一振动物体产生频率为f，加速度振幅为a10的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为f0，力学品质因素为Qm，音圈导线总长为l，磁隙中的磁通量密度为B。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？ 解：动圈式加速度计测量 由 Qm??0MmRm 得 Rm??0MmQm

由 f0?1Km 得 Km?4?2f02Mm

2πMmMma10＝Bla10ZmMmKm2??2R?(?M?)?mm????12则 Ea?Bl

＝Bla10Mm2?2?Km22R??M?2KM?mmm?m?2???12

＝

Bla10?4?2f0216?4f04?222?Q2???8?f0??2?m??12

1-35 设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成

FF?Fa(1?hsin?1t)sin?t，

其中h为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。

解：外力表达式为FF?Fa(1?hsin?1t)sin?t ?Facos(?t?用指数形式表示外力为FF?Fae?2?)?1Fah[cos(?1??)t?cos(?1??)t] 2j(?t?)2?11Fahej(???1)t?Fahej(???1)t 22振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为

1hFaFa??2??cos(?t???1)?cos[(???1)t?0??3?]?Z12(???1)Z321hFa?2?cos[(???1)t?0??2?]

(???1)Z22

其中：?1?arctan?Mm?RmKm?；

Km(???1)Mm????1； ?2?arctanRmKm(???1)Mm????1； ?3?arctanRm2Z1?Rm?(?Mm?Km?)2；

2Z2?Rm?[(???1)Mm?Km2]； ???1

2Z3?Rm?[(???1)Mm?Km2]。 ???12t) T1-36 设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为FF?Fa(1?（kT?t?(1?k)T,k?0,1,2,?）

试求振动系统的位移。

d2?d?2t?Km??FF(t)?Fa(1?) （1） 解：质点的振动方程为 Mm2?RmdtdtT? 又 FF(t)?A0??Ancosn?t?Bnsinn?t,（??2πn?1T） 其中 A10?T?T0FF(t)d?t 0A2Tn?T?0FF(t)cosn?tdt?0 B2T2Fan?T?0FF(t)sinn?tdt?n?

?式（2）也可表示为 FF(t)??Fncos(n?t??n) （3）

n?0其中 F2?B22Fa， ??arcta2n?Ann?n?nFann?

? 把式（3）表示成为复数形式 FF(t)??Fnej(n?t??n)

n?0则式（1）可写成 Md2?d??(?t??mdtmdt?Km???Fnejnn )2?R （4） n?0? 设 ????n，代入式（4）可得 ??????Fnn??Zej(n?t??nn?0n?0?n?0jnn 其中 ZKmn?Rn?jXn?Rm?j(n?Mm?n?) 取?的实部得 ????Fncos(n?t??πn??n?)n?0n?Zn2

? ＝?2Fa2cos(n?t??πn??n?) n?0?n?Zn2 式中 Z2Kmn?Rm?(n?Mm?n?)2 2） （)

X ?n?arctann?RmKn?Mm?marctann?

Rm1-37 设有如下形式的外力

??Fa,??FF???Fa,????1??kT?t??k??T2??1(k?)T?t?(k?1)T

2(k?0,1,2,?)作用于单振子的质量上，试求振动系统位移. 解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得

FF(t)??Fncos(n?t??n)

n?0?其中Fn?An?Bn，?n?arctan22Bn. An1TFF(t)dt?0， ?0T2TAn??FF(t)cosnwtdt?0，

T0A0??4Fa2Fa2T?Bn??FF(t)sinnwtdt?[1?(?1)n]??n?T0n???0由此Fn?Bn，?n?F1?4n为奇数n为偶数.

?2(n为奇数)，即

?Fa,F3?444Fa,F5?Fa,?,Fn?Fa； 3?5?n??1??2,?3??2a,?5??2,?,?n??2(n为奇数).

由(1-5-14)得质点振动系统得位移

????

Fn?cos(nwt??n??n?)

2n?0n?Zn?4Fa4Fa4Fcos(wt??1??)?cos(3wt??3??)??2acos(nwt??n??)(n为奇数) ??Z19??Z3n??Zn

习题2

2-1 有一质量为m，长为l的细弦以F的张力张紧，试问： (1) 当弦作自由振动时其基频为多少？

(2) 设弦中点位置基频的位移振幅是B，求基频振动的总能量。 (3) 距细弦一端l4处的速度振幅为多少？ 解：（1）简正频率fn?mnT，且线密度??

l2l??基频f1?1T1T。 ?2l?2ml216T?016TB2?（2）基频振动的总能量E1?。 22l?l?（3）弦的位移的总和形式?(t,x)??Bnsinknxcos(?nt??n)

n?1???(t,x)???(?Bn?nsinknx)sin(?nt??n) 速度表达式为v(t,x)??tn?1?距一端0.25m处的速度振幅Vax?l4??Bn?2??n?1?nTn?lsin(?) 2l?l4 ??n?Bnn?1?Tn?sin ml4nTn?3lsin(?) 2l?l4 Vax?3l4??Bn?2??n?1???n?Bnn?1?T3n? sinml42-2 长为l的弦两端固定，在距一端为x0处拉开弦以产生?0的静位移，然后释放。 （1）求解弦的振动位移；

（2）以x0?l3为例，比较前三个振动方式的能量。 解：弦的振动位移形式为：

?(t,x)??sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt)

n?1?其中kn?n?n?c，?n?，Cn?Bncos?n，Dn?Bnsin?n ll??0x??x（1）由初始条件可得：?(t?0)??0??0(l?x)??l?x0v(t?0)?(??)t?0?0?t(0?x?l)

(0?x?x0)

(x0?x?l)2l?C??(x)sinknxdx??nl?00又? 2lv0(x)sinknxdx?Dn??0?l?n?l??02?0l22?x0?0n?xsinknxdx??(l?x)sinknxdx??22sinx0 则Cn???x0l?xl?0x0ln?x(l?x)000? Dn?0 则sin?n?0 Bn?Cn

?2?0l22?n?2?xn?c?(t,x)??Cnsinxcos(?nt??n)??22sinx0sincost

lllln?x(l?x)n?1n?100??n?n?

n2?2c2?2n2?2T2Bn?Bn （2）En?4l4l1当x0?l时，Bn?Cn?32?0l29?n?ln?sin??202sin

lll3n?3n2?2(l?)332T?0?2T9?0?2243(sin)?则E1? 4l?2316?2l2243T?0E2? 264?lE3?0

2-3 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。 解：弦的振动位移表达式为

??(t,x)??sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt)

n?1?可得速度表达式为

v(t,x)???(t,x)??t??sinknx(??nCnsin?nt??nDncos?nt)

n?1由题可得初始条件：

????t?0?0；

?tt?0??2v0x,0?x?l?l 2 ??2v?2v0l0lx,2?x?l通过傅立叶变换可得：

Cn?0；

D4v0kln?kl3?3(?sinkl?2sinn2)。 ??位移表达式为?(t,x)??Dnsinknxsin?nt

n?1其中D4v0n?kl3?3(?sinkl?2sinkln2)。 2-4 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中心，试证明外力传给能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。

??(t?0)解：初始条件??0??l???x?2

???t?v0t?0?弦的总位移为?(t,x)??sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt),

n?1其中Cn?Bncos?n,Dn?Bnπcnsin?n，（?n?l,k?n?nc） 又D22n?l?n?l2v0l0v0(x)sinknxdx＝

l?dx＝

n?l0v0sinknxn2?2c(1?cosn?) Cn?0

当n为偶数时，D2?D4?D6???0

弦的初动 当n为奇数时，D1?故Bn?Dn，?n?0

4v0l14v0l14v0lD?D?，，，? 35?2c9?2c25?2c24Tv0l11T222又弦振动时的总能量为E??En??(nπBn)＝22(1????)

?c925n?1n?14l??222l?Tv0lTv04Tv0l?212(l?) ＝22()＝2＝＝v022T2c?c812T ＝mv0＝Ek0 （c2?）

2?12外力传给弦的初始动能为Ek0＝mv0

22-5 设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离

l处，施加一垂直于弦的力F?Faej?t，试求在x?l力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。

提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：

?1??2和T??1???T2?F。 ?x?x2-6 有长为l，线密度为?的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M，已知弦所受的张力T，如图所示。试求

（1） 该弦作自由振动时的频率方程；

（2） 假设此重物M比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。

图 2－6

解：（1）由题意可知其初始条件和边界

??x?0?0?条件为????2???Tx?l?M?x?t2?

x?l弦的振动位移为

?(t,x)?(Acosx?Bsinx)cos(ut??)（其中u??n?2πfn）

uA?0?(t,x)?Bsinxcos(ut??) 时，得则?0x?0c??u??Businxsinut(??) ?tcucuc 当?u?2?(??) 2??Bu2sinxcosutc?t

??uu?Bcosxcosut(??) ?xccuuu带入边界条件可得： ?TBcoslcos(ut??)??MBu2sinlcos(ut??)

cccuT 即 tanl?

cMcuuuTuTl?lMSl??? ltanl?

ccMcucMMc2M

（其中c?T?, 弦的质量为Ms，线密度为?）

Mu 令r?l，??S，则rtanr??，这就是弦作自由振动时的频率方程。

cM??3??42 （2）当Mm<

3?3?r?? 可简化为 ??则 rtan2?43??.求解这一代数方程，可得近似关系为

?2???1? ?

?????. 3?1?1?x?x2?x3?? (x2?1) 且?<<1 1?x1? ? ?1?

?31?3 则 r2???11??3?MS?M11?Ms? MsMs1?M?3M32?fnuTl，c?,Ms??l 又r?l?cc?则f0?1c?Ms?2?l1MM?s31M?＝

12?T?Ms??l21MM?s3

＝

12?T?Ms?lMsMs3＝

12?KmT （其中Km?） MlM?s32-7 长为l的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移ξ0，然后释放. 试求棒作纵振动时各次振动方式的位移振幅.

解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为

?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??).

由棒一端固定一端自由的边界条件得

??|x?0?0?????0??x?x?l(1)(2)

由(1)式?Acos(wt??)?0?A＝0.

1?由(2)式?kBcosklcos(wt??)?0?coskl?0?kn?(n?)2l(n?1,2,3,?).

由此各阶简正频率对应的位移表达式为

?n(t,x)?Bnsinknxcos(?nt??n).

棒的总位移为各简正频率位移之和，即?(t,x)??Bnsinknxcos(?nt??n).

n?1?棒的初始条件为

?0??|?x?t?0?l??????0???tt?0由(4)?sin?n?0??n?n?.

2l由(3)?Bncos(??n)???0(x)sinknxdx

l0l?2?0n2. ?Bn?(?1)??x?0sinknxdx???2l0l(n??)2(3)

(4)2-8 有一长1m、截面为1×10-4m2的铝棒( ρ=2.7×103kg/m3)，两端自由.

(1) 试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？

(2) 如果在一端负载着0.054kg的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？

解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为

?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??).

由棒两端自由的边界条件得

?????x????????x?0x?0(1)

?0(2)x?l由(1)式?Bkcos(wt??)?0?B＝0.

由(2)式?kAsinklcos(wt??)?0?sinkl?0?kn?n?l(n?1,2,3,?)

?fn??nkncnc??. 2?2?2lc16.85?1010(1) 棒作纵振动的基频为f1???2520Hz.

2l2?12.7?103该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1).

1l当cosk1x?0，即x?(n?)l时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x??0.5m

22的点位移振幅最小.

(2) 当在一端负载时，由(2-2-25)得k1=2.65.

该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1).

Mtankl??m??0.2，即tank??0.2k，利用数值方法可以求得klm1(n?)?2时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x1=0.59m当cosk1x?0，即x?2.65的点位移振幅最小.

2-9 有一长为l的棒一端固定一端有一质量负载Mm。 （1）试求棒作纵振动时的频率方程；

（2）如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？ 解：（1）棒的位移方程为

?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(wt??) 由边界条件得：

?(x?0)?0?A?0???ctgkl2Mm ????????ES()??M()x?lmx?l??m?kl?x?t2?故频率方程为：ctgkl?（2）将2-8参数代入得

Mmkl mctgkl?0.2kl,(Mm?0.2) m?ctgk?0.2k

由牛顿迭代法知： k1 =1.3138 则 f1?k1c?1.05?103（Hz） 2?基频振幅为：?1?Bsink1x,(0?x?1) 当x=1时，sink1x达到最大，即振幅最大。

2-10 试分别画出两端自由和两端固定的棒，作n=1,2模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位置x的分布图。

解：两端自由的棒：

两端固定的棒:

2-11 设有一长为l，两端自由的棒作纵振动。假设其初始时刻的位移分布为?0?x??cos度v0?x??0。求该棒振动位移表示式。

解：棒做纵振动时，其方程的解为：

?lx，初速

??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??)

???k(?Asinkx?Bcoskx)cos(?t??) ?x???x?0?0?B?0??x两端自由，即不受应力作用，?

??n?nc??fn?x?l?0?kl?n??kn?l2l??x所以，???Ancosknxcos(?n??n)

n?1?

??? v???Ancosknx[??nsin(?nt??n)]

?tn?12l???0(x)??Ancosknxcos(??n)?cosx?Ancos?n??cosxcosknxdx??ll0ln?1???v0(x)??Ancosknx(?nsin?n)?0?An?nsin?n?0?n?1?

?n?1?1,2l?n?xdx???Ancos?n??cosxcos??l0ll?0,n?2,3,????sin?n?0??n?n????即A1cos?1?1?A1??1,所以???cosAn?0,(n?2,3,???)

?lxcos(?clt??)

2-12 设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即x?0处，而自由端取在x?l处。试求该棒作自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。 附：

fn?(2n?1)c (n?1,2,3,?)。 (2-2-20) 4l解：棒的振动位移表达式?(t,x)?(Ancosknx?Bnsinknx)cos(?t??) 边界条件：?x?0?0；

???tx?l?0，

代入位移表达式解得：An?0； kn?于是可推出

fn?(2n?1)c(n?1,2,3,?)。 4l2n?1?。 2l若将自由端置于原点，固定端置于x?l处，同样能得出与（2-2-20）相同的结论。 2-13 长为l的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用（F?Facos?t）。 （1）试求棒作纵振动时的位移表达式；

（2）证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为Km?解：棒纵振动位移的一般表达式为：??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??)

ES。 l??x?0?0?A?0?满足边界条件：?FA??cos?t

?ES()?Fcos?t?B???x?lA??xESkcosklcos(?t??)?

所以，???FAcos?tF??sinkl?cos(?t??)??sinkx

ESkcosklcos(?t??)ESkcoskl当频率较低或棒很短时，即kl??1时，coskl?1，sinkx?kx?kl 有???FFES?kl??l?F??? ESk?1ESlES。 l即棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为

2-14 长为l的棒一端钳定一端自由在进行横振动，设已知基频时自由端的位移振幅为?0，试求以?0来表示的棒的基频位移。

解：设棒在x?0端钳定，x?l端自由，于是边界条件可写为：

???x??2??x2x?0?0，

x?0?0，

?3?x?l?0，

?x3x?l?0。

代入横振动方程

?(t,x)?[Ach????x?Bshx?Ccosx?Dsinx]cos(?t??) ????可得A??C，B??D，并有如下关系

????l?cosl)?B(sh?sinl)?0 ????????A(shl?sinl)?B(ch?cosl)?0

????A(ch设???l，并用简正值（n=1,2,3,…）代表?的一系列根值。 ?sin?n?sh?n，cos?nsh?n??1

cos?n?ch?n? Bn?An?自由端基频位移振幅?0?A1Y1(l)

?A1[(ch?1?cos?1)?2sin?1sh?1?2

cos?1?ch?1sin?1?sh?1(sh?1?sin?1)]

cos?1?ch?1?A1? A1??0(co?s1?ch?1)

2(sh?1sin?1?1)?基频位移?1(t,x)?A1Y1(x)cos(?1t??1)，

其中：Y1(x)?(ch?1lx?cos?1lx)?sin?1?sh?1??(sh1x?sin1x)

cos?1?ch?1llA1??0(cos?1?ch?1)。

2(sh?1sin?1?1)?0x，试解棒作横振动的位

2-15 长为l的棒一端钳定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移?t?0?移表达式。

解：初始条件和边界条件为：?（1）; ?????x?0?0??x???0 (2)

x?0??2?????3??x2???0 (3); ???x?l??x3???0 (4) x?l??0??t?0?lx (5); ?????t???0 (6) t?0棒作横振动的总位移位为：

?(t,x)?????Aco?sh?xBs??in?hxC??c?osxD?????sixn???c 把（1）、（2）代入（7）得

A??C,B??D

则 ?(t,x)???A(???co?sh?x?cos?xB)???(s?ixnh????xsin???)t c把（5）、（6）代入（8）得

???A(cosh???0?x?cos?x)?B(sinh????x?sin?x)??cos??lx??A(cos?hx????c?osx?B)(??si?nxh?????sx?in?)?( sin)0即 sin??即0??n? A(cosh?x?cos??x)?B(sinh??x?sin???x)?0?lx ? ?(t,x)??0lxco?s(?t?n )2-16 长为l的棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。 解：棒作横振动的位移方程为：

?(t,x)?[Achwvx?Bshwvx?Ccoswwvx?Dsinvx]cos(wt??)

ls7(）

)8s）( )（to（o

??2??3??0,3?0???x2x?0?xx?0由边界条件得：?2， 3??????0,3?02??xx?l??xx?l?A?C,B?D

www?A(chl?cosl)?B(shl?sin?vvv?www?A(shl?sinl)?B(chl?cosvvv?要使方程有解，则

wl)?0vwl)?0v

chwwwwl?coslshl?sinlvvvv=0 ?chwlcoswl?1 wwwwvvshl?sinlchl?coslvvvv2-17 长为l的棒两端钳定，求棒作横振动的振动频率方程. 解：由(2-2-57)式得棒的横振动一般表达式为

?(t,x)??Acosh???????x?Bsinhx?Ccosx?Dsinx?cos(wt??) ?????其中???ck. 由棒两端钳定的边界条件得

???|x?0?0????|?0x?l?????x???x?0x?0(1)

?0(2)x?l由(1)?A=－C B=－D

????????由(2)?A?sinhl?sinl??B?coshl?cosl??0

????????????????A?coshl?cosl??B?sinhl?sinl??0

????????这是一个二元一次方程组，若A，B为非零解，则它们的系数行列式应等于零，即

????l?sinlcoshl?cosl?????0 ????coshl?coslsinhl?sinl????sinh由此可化得cosh???l?cosl?1，这是一频率方程，可用图解法求解。设?n?l表示方程的一系???ck2?n. 2?l2列根，此时简正频率fn?

2-19 已知铝能承受最大张应力为P，密度为?，如果现在用这种材料制成厚度为h的膜，试求膜能承受的最大张力为多少？如果将其绷在半径为r的框架上，试问这种膜振动的基频最高能达到多少？

解：膜能承受的最大的张力T?Ph， 当半径为r时，膜的基频达最大，大小为

f1?2.405T2.405Ph2.405P ??2?r?2?r?h2?r?2-21 求解周界固定的矩形膜作自由振动时的简正频率以及简正振动方式，如果膜的边长为1：2，试计算最小四个泛频与基频的比值。

?2??2?1?2?解：膜的振动方程为：2?2?22 （*）

?x?yc?t设：?(x,y;t)??a(x,y)ej?t

??a(x,y)??a(x,y)?2代入方程（*）得：???2?a(x,y) 22?x?yc2-23 设有一圆环形膜，其在外周r?a与内周r?b处固定，试证明该圆环膜自由振动的频率方程为

J0(?y)N0(y)?J0(y)N0(?y)?0

其中?y?ka，y?kb。

证明：圆环形膜的振动方程为：?(t,r)?R(r)ej?t 其中R(r)?AJ0(kr)?BJ0(kr)。

由外周r?a与内周r?b处固定得边界条件

?r?a?0，?r?b?0，

代入方程得 AJ0(ka)?BN0(ka)?0，

AJ0(kb)?BN0(kb)?0，

整理得 J0(ka)N0(kb)?N0(ka)J0(kb)?0。 从而可得该圆环膜自由振动的频率方程为

J0(?y)N0(y)?J0(y)N0(?y)?0

其中?y?ka，y?kb。

习题3

3-1 如图3-4-2所示的隔振系统，试画出其阻抗型类比线路图，并运用线路图来讨论此系统的隔振性能。

解：阻抗型类比线路图如（c）图所示。 下面分析一下系统的隔振性能， 利用克希霍夫电路定律，在Mm路径中有

v?在Mm后面的分支点有

v?F1?F j?MmFF??j?CmF?RmF 11j?CmRm合并两式即得

F1?F?j?CmF?RmF j?Mm经整理得

3-3 试画出如图(a)所示的弹簧并联相接的力学系统的导纳型类比线路图，并从线路图求出系统的等效弹性系统。

图 习题3-3

解：导纳型类比线路图如（b）图所示。 下面分析一下系统的隔振性能， 利用克希霍夫电路定律，在Mm路径中有

v?在Mm后面的分支点有

v?F1?F j?MmFF??j?CmF?RmF 11j?CmRm合并两式即得

F1?F?j?CmF?RmF j?Mm经整理得

3-5 试画出如图(a)所示力学系统的导纳类比线路图(力阻都忽略不计)。

图 习题3-5

3-7 (a)图中示意画出了自行车的简化力学模型，如果由于路面不平整，使一只轮胎得到一垂直方向的速度v?vacos?t，试画出该系统的导纳型力学类比线路图。

3-9 有一简单的护耳罩结构如图(a)所示，耳罩与人头之间形成一体积为V的空腔，耳罩的质量为

图 习题3-7

Mm，有效面积为S，它与人头之间以弹性系数为Km的软垫接触，假设耳罩外有一声压为p的声波作用，在耳罩内产生的声压为pv，试求出耳罩的传声比

pv，并分析护耳罩的传声规律。 p

图 习题3-9

3-11 有一耳机，其振膜的固有频率原设计在在一个模仿人耳体腔体积为V的小盒子上进行，如固有频率，设振膜有效质量为m，有效面积为S。

图 习题3-11

f1，测试时将耳机压紧

图所示。求这时系统的

3-14 试画出如图(a)所示带通声滤波器的类比线路图，并求出其截止频率。

图 习题3-14

3-16 如图为一压强式电容传声器打有许多小孔，构成声阻尼元件Ma1，图。

3-18 号筒式扬声器的简单结构如换能得到的交变力F作用在振膜上，振膜的别为Mm，Cm和S，Ca1和Ca2分别为前室和筒吼部面积，假设已知吼部的声辐射阻抗为号筒式扬声器的类比线路图。

图 习题3-18 图 习题3-16

结构示意图，背电极上试画出其类比线路Ra1，

图(a)所示，有动圈式质量、力顺及面积分后室的声容，S0为号

Rra??0C0S0，试画出

习题4

4-1 试分别在一维及三维坐标里，道德质点速度v的波动方程。 解：小振幅声波一维波动方程：

?v?p????,(1)?0?t?t??v???????,(2) ?0?x?t?2?p?c0??,(3)??由（3）得???1c02p代入（2）得

?v1?p?2， （4） ?xc0?t??0（4）对x求导，得

?2v?2p??0c02?， （5）

?x?x?t2?2v?2p（1）对t求导，得 ?02??， （6）

?x?t?t?2v1?2v（5）与（6）相加，得 ?22 2?xc0?t三维波动方程：

??v??0?t??gradp,?????, ??div(?0v)??t?2p?c0??,???推导方法与一维相似，得

1?2vgrad(div(v))?22

c0?t4-2 如果媒质中存在体积流源，单位时间内流入单位体积里的质量为ρ0q(x,y,z,t)，试导出有流源分布时的声波方程.

(?v)x(?v)x?dxx首先考虑在一维x方向上的连续性方程

x?dx

解：由于媒质中存在体积流源，媒质的连续性方程发生改变.

m流入?(?vx)xS?(?vx)x?dxS??0qx?Sdx

?(?vx)??0qx)?Sdx ?x??m增加?Sdx

?t?(?由质量守恒可得

(??(?vx)????0qx)?Sdx??Sdx. ?x?t?(?vx)??'??0qx?即 ?. ?x?t将其扩展到三维的情况

??'?div(?0?)??0q? (1)

?t再由媒质的运动方程和物态方程得

?0????gradp (2) ?t2p?c0?' (3) 对(1)式两边同时求导得

???q?2?'?div(?0)?div(?0)?2.

?t?t?t将(2)式和(3)代入上式得

?q1?2pdiv(gradp)?div(?0)?22

?tc0?t可记为

1?2p?q?p?22?div(?0).

?tc0?t2上式即为有流源分布时的声波方程.

4-3 如果媒质中有体力分布，设作用在单位体积媒质上的体力为F(x,y,z,t),试导出有体力分布时的声波方程。

解：体力影响运动方程：首先考虑一维情况，取一足够小体积元

F1=（P0+p）S+FxSdx，F2= -（P0+p+dp）S-Fx+dxSdx 则合力为?(?p?FSdx?Sdx)，由牛顿第二定律，得 ?x?x?p?F?v?v?p?F?(?)Sdx??Sdx????(?) ?x?x?t?t?x?x再推广至三维情况，并考虑小振幅声波，得

?v??grad(p?F) ?t???另两个方程仍为：?div(?0v)?

?t?0

p?c0??

1?2p由以上三式可推出：?(p?F)?22

c0?t224-4 如果在没有声扰动时媒质静态密度是不均匀的，即?0??0(x,y,z)，试证明这种情况下的声波方程为

1?2p?p?22?gradp?grad(ln?0)。

c0?t2证明：在密度不均匀的条件下的三维声波方程为：

?dv???gradp （1） dt?????[div(?v)?vgrad?]? （2）

?t2p?co?? （3）

在小振幅的情况下，经线性规划，（1）式和（2）式的三维线性方程可化为 ?dv?0??gradp （4） dt??????[div(?0v)?vgrad?0]? （5）

?t2（3）式不变，其中的系数c0是决定于媒质平衡态参数的一个常数。

将（3）式对t求导并代入（5）式得：

??1?p （6） ?[div(?0v)?vgrad?0]?2c0?t（6）式对t求导得：

???v?v1?2p?[div(?0)?grad?0]?22 （7）

?t?tc0?t)??2p （4）式代入上式，且div(gradpgradp1?2p? ?p? gra?d0?22?0c0?t21?2p即 ?p?22?grad?gpra(dln?0)

c0?t24-5 一无限长圆柱形声源沿半径方向作均匀胀缩振动时，其辐射声波波阵面是圆柱形的，设径向半径为r、单位长度圆柱形波阵面面积为S?2?r，试求出这种声场里声波方程的具体形式。

解：因为为无限长圆柱，产生无限的均匀圆柱声场（即波振面的形状在传播过程中保持一定，

?且传播方向不变沿r方向），所以仅取单位长度的被一很小的立体角所割出的空间作为研究对象。 在r处，其波振面面积为S?2?r，单位时间内流入质量为?vS。 在r?dr处，?,v,S发生变化，单位时间内流出质量为

(?vS)?vS)r?dr?(?vS)?(r??rdr 所以单位时间流入体积元的质量为(?vS)?(?vS)r?(?vS)r?dr???rdr， 因为传播仅在r?方向，而且仅考虑小振幅情形，此时运动方程为

??v?p0?t???r 又因为该体积元内质量近似等于?Sdr，单位时间内质量变为

?(?Sdr)?t， 由质量守恒定律有??(?vS)?rdr??(?Sdr)?t ① 因为????(vS)???0???，所以①式可以写为??0?r?S?t ② ②式两边同乘c220c0?v?SS，变为??2???0S(S?r?v?r)?c0?t ③ 又物态方程为p?c2?p0????t?c2???0?t ④

由③和④推出，?p?t???2?v?(lnS)0c0[?r?v?r] 两边对t求导得，?2p22?v?t2???0c0[?r?t??v?t??(lnS)?r] ⑤ 由运动方程得，??2v?2p?2p2?2p?p?(lnS)0?t?r???r2，代入⑤式，得，?t2??c0[??r2??r??r] ?2p1?p1?2 整理得 ?r2?r?r?pc22 0?t4-6 如果声波的波阵面按幂指数规律变化，即S?Sn0(1?anx)，其中S0为x?0处的面积，数，试导出这时声波方程的具体形式。

解：特殊形式的声波方程为：

?2p?p?(lnS)1?2?r2??r?r?pc22 0?t由于S?S0(1?anx)n，代入上面的方程得：

an为常?2p?p?[lnS0(1?anx)n]1?2p??22 2?r?r?rc0?t整理得这时声波方程的具体形式为

nan?p1?2p?2p??22 ?r21?anx?rc0?t4-7 试问夏天（温度高达400C）空气中声速比冬天（设温度为00C）时高出多少？如果平面波声压保持不变，媒质密度也近似认为不变，求上述两种情况下声强变化的百分率及声强级差。

5解：(1) 对于空气??1.402，标准大气压P0?1.013?10Pa，T0?273?t 3 ??29?1?0，kgm/olR?8.31J/k?mol

则声速为 c0??P0?R?T0, ?0?c0(0℃)=

?R273?331.6m/s ?则 c0(t℃)?331.6?0.6t(m/s).

c0(400C?)s 33?1.6?0.6?40m/355.6? ?c0=c0(400C)?c0(00C)?24m/s （2）声强I?W??c0 Spe2又平面波声压不变，媒质密度也不变，则??不变 2?0c0?c0(400C)??c0(00C)?100%?7.24% 则?I%=0?c0(0C)又 SIL?10log10IIref0(dB)

I(400C)I(00C)则 ?SIL?SIL(40C)?SIL(0C)=10log10 ?10log10IrefIref0?c0(400C)I(400C)=10log10=10log10＝0.3dB 00I(0C)?c0(0C)4-8 如果两列声脉冲到达人耳的间隔时间约在(120)s以上时，听觉上可以区别出来，试问人离一垛

高墙至少要多远的距离才能听到自己讲话的回声？

解：设高墙距人L米，

?2L1 ?c020c0?8.6(m) 20?L?因此人离一垛高墙至少要8.6m的距离才能听到自己讲话的回声。 4-9 （1）试导出空气中由于声压p引起的绝对温度的升高?T的表达式。

（2）试问在200C、标准大气压的空气里，80dB的平面声波引起的温度变化幅值为多少？

?解：（1）对理想气体有 PV0MRT0

?又

P?P0??P T?T0??TMR(T0??T)

则 (P0??P)V??P0T0?P?T0 即 ?T?P0??PT0??TP0（2） SPL?20log10pe(dB) pref由题得 80?20log10则 ?P?0.22Pa

?T?pe 则 pe?0.2Pa 即 P?0.22Pa pref?P0.22?4T0??(273?20)?8.2?10K 5P1.01?104-10 在20oC的空气里，求频率为1000Hz、声压级为0dB的平面声波的质点位移幅值，质点速度幅值，声压幅值及平均能量密度各为多少？如果声压级为120dB，上述各量又为多少？为了使空气质点速度有效值达到与声速相同的数值，借用线性声学结果估计需要多大的声压级?

p解：由SPL?20log10epref(pref?2?10pa)得pe?pref10pa； ?0c0?5SPL20.

则：声压幅值pa?2pe；质点速度幅值va?

质点位移幅值?a?(1) SPL＝0dB

va?；平均能量密度??pe22?0c0.

pa?2.828?10?5pa；va?6.815?10?8m/s；?a?1.085?10?11m；

??2.813?10?15J/m3.

(2) SPL＝120dB

pa?28.28pa；va?0.0682m/s；?a?1.085?10?5m；??2.813?10?3J/m3. (3) ve?pep2?c0?pe??0c0，则SPL?20log10e?197dB. ?0c0pref4-11 在20℃的空气里，有一平面声波，已知其声压级为74dB，试求其有效声压、平均声能量密度和声强。

解：声压级SPL?20lgpe?74(dB)， pref?有效声压pe?0.1(Pa)，

2pe0.12?8?3 平均声能量密度????6.9?10(J?m)， 2?0c0415?3442pe 声强I??c0??2.4?10?5(W?s?2)。

?0c04-12 如果在水中与空气中具有同样的平面波质点速度幅值，问水中声强将比空气中声强大多少倍？

解：水中平面波质点速度幅值为va1，声压为Pa1，声强为I1 空气中平面波质点速度幅值va2，声压为Pa2，声强为I2 则 va1?va2，又Pa1?va1?1c1，Pa2?va2?2c2 则

1Pa2?2c2? 又 I?Pava

2Pa1?1c1I2Pa2?2c21.480?106????3566倍 ?

I1Pa1?1c14154-13 欲在声级为120dB的噪声环境中通电话，假设耳机再加一定电功率时在耳腔中能产生110dB的声压，如果在耳机外加上的耳罩能隔掉20dB噪声，问此时在耳腔中通话信号声压比噪声大多少倍？

解： 耳机内信号声压P信=Pref·10

110/20

，

到达耳机的噪声声压P噪=Pref·10所以P信/P噪=10

110/20

（120-20）/20

/10

100/20

=3.16

4-14 已知两声压级幅度之比为2，5，10，100，求它们声压级之差.已知两声压级之差为1dB，3dB，6dB，10dB，求声压幅值之比.

解：已知声压幅值比，则声压级之差为

?SPL?20log10pe1ppp?20log10e2?20log10e1?20log10a1. prefprefpe2pa2?SPL20p已知声压级之差，则声压幅值比为a1?10pa2.

(1) 当声压幅值比分别为2，5，10，100时，声压级之差分别为6.02dB，14.0dB，20dB，40dB. (2) 当声压之差分别为1dB，3dB，6dB，10dB时，声压幅值之比分别为1.1220，1.4125，1.9953，3.1623.

4-15 20℃时空气和水的特性

阻抗分别为

R1?41及

R2?1.4，计算平面声波由空气垂直入射于水面上时反射声压

大小及声强透射系数。

解：声压反射系数rp?R2?R1?1，

R2?R12Itpta2?2c2R124R1R2?tp??1.21?10?3。 声强透射系数rI??22Iipia2?1c1R2(R1?R2)4-16 水和泥沙的特性阻抗分别为1.48?106Pa?s/m及3.2?106Pa?s/m，求声波由水垂直入射于泥沙时，在分界面上反射声压与入射声压之比及声强透射系数。

解: 水的特性阻抗为R1=1.48?106Pa?s/m 泥沙的特性阻抗为R2=3.2?106Pa?s/m

当声波由水垂直入射于泥沙时，在分界面上反射声压与入射声压之比为

rp?praR2?R1??0.37 piaR2?R1声强透射系数为 tI?It4R1R2??0.86 2Ii1(R1?R2)4-17 声波由空气以?i?30?斜入射于水中，试问折射角为多大？分界面上反射波声压于入射波声压之比为多少？平均声能量流透射系数为多少？

解：

sin?ic1m/s ?,查表知c1?344m/s，c2?1483sin?tc2又

c21483sin?i?sin30??2.16?1，所以发生全反射现象 c1344

反射波声压于入射波声压之比为rp?PrPi?1

平均声能量流透射系数为tw?tIcos?t?0

cos?i4-18 试求空气中厚为1mm的铁板对200Hz及2000Hz声波的声强透射系数tI(考虑垂直入射). 解：由(4-10-41)知声强透射系数为

tI?4.

4cos2k2D?(R12?R21)2sin2k2D(1) f＝200Hz时，k2??c?2??200?0.2889，k2D?2.889?10?4. 4350由于k2D??1，则cosk2D?1,sink2D?0，?tI?1. (2) f=2000Hz时，分析过程同上，tI?1.

4-19 空气中有一木质板壁，厚为h，试问频率为f的声波的隔声量有多少？ 解：隔声量TL??42?20lgf?20lgM

??42?20lgf?20lg?h

其中?表示木质板壁的密度。

4-20 一骨导送话器的外壳用厚1mm的铁皮做成，试求这外壳对1000Hz气导声波的隔声量。 解：对于铁，其厚度为D?1mm?10?3m，??7.70?103kg/m3，c?3.70?103m/s R??c?28.49?106N?s/m3，M??D?7.7kg/m2

对于空气 R0??0c0?415N?s/m3 则R21?R02?DD??1, ??0.5 （??2?f?2000?Hz） R?2c0???M?2?则所求隔声量为TL?10log10?1?????35.3dB

2R???0???4-21 房间隔墙厚度20㎝，密度?=2000㎏/m3，试求100Hz及1000Hz声波的隔声量分别为多少？如墙的厚度增加一倍，100Hz声波的隔声量为多少？如不是增加厚度，而是用相同材料切成双层墙，中间距10㎝，这时对100Hz声波的隔声量为多少？

解：由质量定律TL=-42+20lgf+20lgM2,得 TL1=-42+20lg100+20lg（0.2×200）=50dB