信息论与编码习题参考答案 第一章 单符号离散信源

同时掷一对均匀的子，试求：

(1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量； (2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量； (3)两个点数的各种组合的熵； (4)两个点数之和的熵；

(5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。 解：

11样本空间：N?c6c6?6?6?36n12

??I(a)??logP1?log18?4.17bitN36n1(2)P2?2??I(a)??logP2?log36?5.17bitN36(1)P1?(3)信源空间：

X (1,1) (1,2) P(X) X 1/36 (2,2) 2/36 (2,3) P(x) X 1/36 (3,3) 2/36 (3,4) P(x) X 1/36 (4,4) 2/36 (4,5) P(x) X 1/36 (5,5) 2/36 (5,6(1,3) 2/36 (2,4) 2/36 (3,5) 2/36 (4,6) 2/36 (6,6 (1,4) 2/36 (2,5) 2/36 (3,6) 2/36 2/36 2/36 (2,6) (1,5) (1,6) 2/36 ) P(x) 1/36 2/36 ) 1/36 ?H(x)?15?2361?log?6??log36?4.32bit 36236(4)信源空间： X P(x) 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 10 3/36 11 2/36 12 1/36 2436636836?log36＋?log??log??log 36362363364 1036636 ??log＋?log?3.71bit365366n1136(5) P3?3??I(a)??logP3?log?1.17bit

N3611 ?H(x)?如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A和B，分别以等概落入任一方格内，且它们的坐标分别为（Xa，Ya）, （Xb，Yb）,但A，B不能同时落入同一方格内。 （1） 若仅有质点A，求A落入任一方格的平均信息量； （2） 若已知A已落入，求B落入的平均信息量； （3） 若A，B是可辨认的，求A，B落入的平均信息量。 解：

(1)?A落入任一格的概率:P(ai)?481?I(ai)??logP(ai)?log4848

?H(a)???P(ai)logP(ai)?log48?5.58biti?1(2)?在已知A落入任一格的情况下,B落入任一格的概率是:P(bi)??I(bi)??logP(bi)?log47?H(b)???P(bi)logP(bi)?log47?5.55biti?148147(3)AB同时落入某两格的概率是P(ABi)??I(ABi)??logP(ABi)48?47i?111?4847

H(ABi)???P(ABi)logP(ABi)?log(48?47)?11.14bit从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为%.如果你问一位男士：“你是否是红绿色盲”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。问这两个回答中各含有多少信息量平均每个回答中各含有多少信息量如果你问一位女士，则她的答案中含有多少平均信息量 解：

对于男士:回答“是”的信息量：I(my)??logP(my)??log7%?3.84bit回答“不是”的信息量：I(mn)??logP(mn)??log93%?0.105bit平均每个回答信息量：H(m)??P(my)?logP(my)?P(mn)?logP(mn) ?-7%?log7%-93%?log93%?0.366bit对于女：回答“是”的信息量：I(wy)??logP(wy)??log0.5%回答“不是”的信息量：I(mn)??logP(mn)??log99.5%平均每个回答信息量：H(m)??P(wy)?logP(wy)?P(wn)?logP(wn) ?-0.5%?log0.5%-99.5%?log99.5%?0.0454bit

某一无记忆信源的符号集为｛0，1｝，已知p0?（1） 求符号的平均信息量；

（2） 由1000个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”,（1000-m）个“1”）

的自信量的表达式；

（3） 计算（2）中序列的熵。 解：

13，p1?23 。1122（1）H(x)??p0logp0?p1logp1???log??log?0.918 bit/symble333312（2）I(A)??mlogp0?(1000?m)logp??mlog?(1000?m)log bit

33（3）H(A)?1000H(X)?1000?0.918?918 bit/sequence H(A)???p0logp0?i?1m1000?m?i?1p1logp1??m12(1000?m)2log?log3333设信源X的信源空间为：

a1 a2 a3 a4 a5 a6 ?X： [x?p]：?0.19 0.18 0.16 0.18 0.3 ?p(X) 0.17 求信源熵，并解释为什么H(X)>log6，不满足信源熵的极值性。 解：

H(X)???p(ai)logp(ai)i?16 ??0.17log0.17?0.19log0.19?2?0.18log0.18?0.16log0.16?0.3log0.3 ?2.725 bit/symble 可见H(X)?2.725?log6?2.585 不满足信源熵的极值性， 这是因为信源熵的最大值是在?pi?1 的约束条件下求得的，但是本题中i?1r

?pi?16i?1.18不满足信源熵最大值成立的约束条件，所以H(X)?log6。

为了使电视图象获得良好的清晰度和规定的对比度，需要用5×10个像素和10个不同的亮度电平，并设每秒要传送30帧图象，所有的像素是独立的，且所有亮度电平等概出现。求传输此图象所需要的信息率（bit/s）。 解：

5

由于亮度电平等概出现，由熵的极值性：每个像素的熵是： H(x0)??p(ai)logp(ai)?log10?3.322 bit/pelsi?110每帧图像的熵是： H(X)?5?105?H(x0)?5?105?3.322?1.661?106 bit/frame?所需信息速率为：R?r(frame/s)?H(X)(bit/frame)?30?1.661?106?4.983?107 bit/s

设某彩电系统，除了满足对于黑白电视系统的上述要求外，还必须有30个不同的色彩度。试证明传输这种彩电系统的信息率要比黑白系统的信息率大倍左右。