5．若函数y＝f(x)对定义域D中的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：( )

①“影子函数”f(x)的值域可以是R； ②“影子函数”f(x)可以是奇函数；

③若y＝f(x)，y＝g(x)都是“影子函数”，且定义域相同，则y＝f(x)·g(x)是“影子函数”．

上述命题正确的序号是( ) A．① C．③

B．② D．②③

解析：选B．对于①：假设“影子函数”的值域为R，则存在x1，使得f(x1)＝0，此时不存在x2，使得f(x1)f(x2)＝1，所以①错；

1

对于②：函数f(x)＝x(x≠0)，对任意的x1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x2＝，则f(x1)f(x2)

x1

＝1，又因为函数f(x)＝x(x≠0)为奇函数，所以“影子函数”f(x)可以是奇函数，②正确；

1对于③：函数f(x)＝x(x>0)，g(x)＝(x>0)都是“影子函数”，但F(x)＝f(x)g(x)＝1(x>0)

x不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0，＋∞)，存在无数多个x2∈(0，＋∞)，使得F(x1)·F(x2)＝1)，所以③错．综上，应选B．

→→

6．(一题多解)已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令AB＝a，AC＝b，过点E11→→

的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且AP＝ma，AQ＝nb，则＋＝( )

mnA．3 C．5

B．4 1D． 3

解析：选A．由于直线PQ是过点E的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．

法一：如图1，令PQ∥BC，

2→2→→2→

则AP＝AB，AQ＝AC，此时，m＝n＝，

33311

故＋＝3.故选A．

mn - 5 -

1→→→1→

法二：如图2，直线BE与直线PQ重合，此时，AP＝AB，AQ＝AC，故m＝1，n＝，所以2211

＋＝3.故选A．

mn

7．如图，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )

A．3∶1 C．4∶1

B．2∶1 D．3∶1

解析：选B．将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有

VVC-AA1B＝VA1-ABC＝ABC-A1B1C1

3

.

因此过P、Q、C三点的截面把棱柱分成体积比为2∶1的两部分．

→→→→→→

8．已知AD，BE分别是△ABC的中线，若|AD|＝|BE|＝1，且AD与BE的夹角为120°，则AB·AC＝________．

23→解析：若△ABC为等边三角形，则|AB|＝，

32→→→→

所以AB·AC＝|AB||AC|cos 60°＝. 32答案： 3

方法二 验证法

方法诠释 验证法是把选项代入题干中进行检验，或反过来从题干中使用前提 存在唯一正确选项. 使用技巧 可以结合特例法、排除法等先否定一些明常见问题 题干信息不全、选项是数值或范围、正面 - 6 -

找合适的验证条件，代入各选项进行检验，从而可否定错误选项而得到正确选项的一种方法. 显错误的选项，再选择直觉认为最有可能的选项进行验证，这样可以快速获得答案. 求解或计算烦琐的问题等.

真题示例 1(2019·高考全国卷Ⅰ)右图是求的12＋12＋2程序框图，图中空白框中应填入( ) 技法应用 11对于选项A，A＝.当k＝1时，A＝，2＋A12＋21当k＝2时，A＝，故A正确；经验证12＋12＋2 1A．A＝ 2＋A1B．A＝2＋ 选项B，C，D均不符合题意．故选A． 答案：A A1C．A＝ 1＋2A1D．A＝1＋ 2A(2018·高考北京卷)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则( ) A．对任意实数a，(2，1)∈A B．对任意实数a，(2，1)?A C．当且仅当a<0时，(2，1)?A 3D．当且仅当a≤时，(2，1)?A 2对a取数字验证．a＝0时，A错；a＝2时，B3错；a＝时，C错．所以选D． 2答案：D - 7 -

(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cosx－sinx＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 (2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( ) A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x) C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x) (2017·高考全国卷Ⅰ)设A、B是椭圆C：＋3函数y＝ln x的图象过定点(1，0)，而(1，0)关于直线x＝1对称的点还是(1，0)，将(1，0)代入选项验证. 答案：B 22当sin x＝0，cos x＝1时，函数值为4，所以A，C错；把x＋π代入验证，可得f(x＋π)＝f(x)，说明D错．故选B． 答案：B x2y2＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足m∠AMB＝120°，则m的取值范围是( ) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)

选取四个选项的差异值m＝3，m＝4代入验证. 答案：A 1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ) 1

A．y＝－

xB．y＝－log2x D．y＝x＋x

3

C．y＝3

x1

解析：选D．y＝－在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递增，但是在整个定义域内不是单调

x递增函数，故A错误；

y＝－log2x的定义域(0，＋∞)关于原点不对称，不是奇函数，故B错误； y＝3x不是奇函数，故C错误；

令f(x)＝y＝x＋x，f(－x)＝(－x)＋(－x)＝－x－x＝－f(x)，是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确，故选D．

3

3

3

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