∵AE=PF，

即AC﹣CE=CF﹣CP， 而CE=CF， ∴CE=（AC+CP），

∴OC=CE=（AC+CP），

当AC=2，CP=CD=1时，OC=×（2+1）=，

当AC=2，CP=CB=5时，OC=×（2+5）=，

∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=故答案为2

．

﹣=2．

【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质． 三.解答题

1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·10分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 BC=DC+EC ；

探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．

【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；

（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；

（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：（1）BC=DC+EC， 理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE，

∴BC=BD+CD=EC+CD， 故答案为：BC=DC+EC； （2）BD+CD=2AD， 理由如下：连接CE， 由（1）得，△BAD≌△CAE， ∴BD=CE，∠ACE=∠B， ∴∠DCE=90°， ∴CE+CD=ED，

在Rt△ADE中，AD+AE=ED，又AD=AE， ∴BD+CD=2AD；

（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE， ∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE=9，

∵∠ADC=45°，∠EDA=45°， ∴∠EDC=90°， ∴DE=

=6

，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∵∠DAE=90°， ∴AD=AE=

DE=6．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键

2. （2018·湖南怀化·10分）已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵AB∥DC， ∴∠A=∠C， 在△ABE与△CDF中∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，

，

∴ED=CD， ∵EG=5， ∴CD=10， ∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD=10．

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C． 3.（2018?江苏宿迁?8分）如图，在□ABCD中，点E.F分别在边CB.AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB.CD交于点G、H，求证：AG＝CH.

【答案】证明见解析.

【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，根据平行线的性质得∠E=∠F，再结合已知条件可得AF=CE，根据ASA得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等得证. 【详解】∵在四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C， ∴∠E=∠F，

又∵BE＝DF，∴AD+DF=CB+BE，即AF=CE， 在△CEH和△AFG中，

，∴△CEH≌△AFG，∴CH=AG.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

4.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断： ①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．

请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：

①构造一个真命题，画图并给出证明； ②构造一个假命题，举反例加以说明．

【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．