1??1??1

∴E?，1，?，F?0，1，?，

2??2??2→

??→

EF＝?－，0，0?，AB＝(1，0，0)．

?

1→→

∵EF＝－AB，

2→→∴EF∥AB， 即EF∥AB，

又AB?平面PAB，EF?平面PAB， ∴EF∥平面PAB. (2)由(1)可知，

1?2

→

AP＝(0，0，1)，AD＝(0，2，0)，DC＝(1，0，0)，

→→

∵AP·DC＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0，

→→

→→

AD·DC＝(0，2，0)·(1，0，0)＝0， →→→→∴AP⊥DC，AD⊥DC， 即AP⊥DC，AD⊥DC.

又AP∩AD＝A，AP，AD?平面PAD， ∴DC⊥平面PAD. ∵DC?平面PDC， ∴平面PAD⊥平面PDC. 题型二 立体几何中的计算问题 命题点1 求线面角

例2(2018·浙江)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，

A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.

5

(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；

(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．

方法一 (1)证明 由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝22，所以A2

2

2

1B1＋AB1＝AA1， 故AB1⊥A1B1.

由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC， 得B1C1＝5.

由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝23. 由CC1⊥AC，得AC1＝13， 所以AB2

2

2

1＋B1C1＝AC1， 故AB1⊥B1C1.

又因为A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1?平面A1B1C1， 所以AB1⊥平面A1B1C1.

(2)解 如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D， 连接AD.

6

由AB1⊥平面A1B1C1， 得平面A1B1C1⊥平面ABB1.

由C1D⊥A1B1，平面A1B1C1∩平面ABB1＝A1B1，C1D?平面A1B1C1，得C1D⊥平面ABB1. 所以∠C1AD即为AC1与平面ABB1所成的角． 由B1C1＝5，A1B1＝22，A1C1＝21， 得cos∠C1A1B1＝所以C1D＝3， 故sin∠C1AD＝

427，sin∠C1A1B1＝， 77

C1D39＝. AC113

39. 13

因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是方法二 (1)证明 如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.

7

由题意知各点坐标如下：

A(0，－3，0)，B(1，0，0)，A1(0，－3，4)，B1(1，0，2)，C1(0，3，1)．

→→→

因此AB1＝(1，3，2)，A1B1＝(1，3，－2)，A1C1＝(0，23，－3)． →→

由AB1·A1B1＝0，得AB1⊥A1B1. →→

由AB1·A1C1＝0，得AB1⊥A1C1.

又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1?平面A1B1C1， 所以AB1⊥平面A1B1C1.

(2)解 设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ. 由(1)可知

AC1＝(0，23，1)，AB＝(1，3，0)，BB1＝(0，0，2)．

设平面ABB1的一个法向量为n＝(x，y，z)． →??n·AB＝0，

由?

→??n·BB1＝0，

→→→

?x＋3y＝0，

得?

?2z＝0，

可取n＝(－3，1，0)．

→

|AC1·n|39

所以sinθ＝|cos〈AC1，n〉|＝＝.

→13|AC1||n|

→

因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是39. 13

思维升华 (1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

8