高考专题突破四 高考中的立体几何问题

题型一 平行、垂直关系的证明

例1如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面ABE； (3)求三棱锥E－ABC的体积．

(1)证明 在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC. 因为AB?平面ABC， 所以BB1⊥AB.

又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，

1

所以AB⊥平面B1BCC1. 又AB?平面ABE，

所以平面ABE⊥平面B1BCC1.

(2)证明 方法一 如图1，取AB中点G，连接EG，FG. 因为E，F分别是A1C1，BC的中点， 所以FG∥AC，且FG＝1

2AC.

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1，且FG＝EC1， 所以四边形FGEC1为平行四边形， 所以C1F∥EG.

又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE.

方法二 如图2，取AC的中点H，连接C1H，FH. 因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB， 又因为E，H分别是A1C1，AC的中点， 所以EC1∥AH，且EC1＝AH， 所以四边形EAHC1为平行四边形， 所以C1H∥AE，

又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A， 所以平面ABE∥平面C1HF， 又C1F?平面C1HF， 所以C1F∥平面ABE.

2

(3)解 因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝AC－BC＝3. 所以三棱锥E－ABC的体积

22V＝S△ABC·AA1＝××3×1×2＝

思维升华 (1)平行问题的转化

1311323. 3

利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用． (2)垂直问题的转化

在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可

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为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．

跟踪训练1如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，

PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.

(1)求证：EF∥平面PAB； (2)求证：平面PAD⊥平面PDC.

证明 (1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，

P(0，0，1)．

∵点E，F分别是PC，PD的中点，

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