11.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S8?32,则S10等于
18.(2009宁夏海南卷文)等比数列{an}的公比qw.w.w.k.s.5.u.c.o.m
?0, 已知a2=1,an?2?an?1?6an,则{an}的前4项和S4=
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
12.(2009辽宁卷理)设等比数列{ an}的前n 项和为Sn ,若
S6S3S9=3 ,则
S6 =
19.(2010天津文数)设
?an?是等比数列,公比q?2,S为{a}的前n项和.记Tn?n
n
17Sn?S2n,n?N*.设Tn0为数列
an?1A. 2 B.
78 C. D.3 33{Tn}的最大项,则n0= .
20.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
21.已知函数
13.(2009四川)等差数列｛an｝的公差不为零,首项a1＝1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190
5?15?15?11.(2009湖北卷文)设x?R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则{},[],
222A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 15.(2009湖北卷文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如：
f(x)?(x?1)2,数列?an?是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的等比数列(q?1),若
a1?f(d?1),a3?f(d?1),b1?f(q?1),b3?f(q?1),(1) 求数列?an?,{bn}的通项公式;
(2) 设数列{cn}对任意的自然数n均有：
cc1c2??????n?(n?1)an?1,求数列{cn}前n项和Sn b1b2bn
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378 二.填空题
16.(2009北京文)若数列
a1(1?qn)1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式Sn＝，且要注意n表示项数；当q＝1时，适用公式Sn
1?q{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N?),则
a5? ;前8项的和
＝na1；若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．
2．在等比数列中，若公比q > 0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．
3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x－d，
S8? .(用数字作答)
17.(2009全国卷Ⅱ文)设等比数列{an}的前n项和为sn.若a1
?1,s6?4s3,则a4=
- 9 -
x，x＋d，
(x?d)2再依题意列出方程求x、d即可． x4．a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．
第4课时 等差数列和等比数列的综合应用
基础过关 1．等差数列的常用性质：
⑴ m，n，p，r∈N，若m＋n＝p＋r，则有 ．
⑵ {an}是等差数列， 则{akn} (k∈N，k为常数)是 数列． ⑶ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．
*
*
C．既成等差数列又成等比数列 D．以上答案都不是
2c2a?c2答案：B。解析：由2b?a?c,?b?，由c?bd,?d?a?c2∴
，由
211??, dcea?cc?e2?,?c?ae，即a,c,e成等比数列。 2cce1}满足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列{an}的通项公式an． an例2. 已知公差大于0的等差数列{解：设{
2．在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．
?an?0⑴ a1> 0，d <0时，解不等式组 ?a?0可解得Sn达到最 值时n的值．
?n?11111}的公差为d(d＞0)，由a2，a4，a8成等比数列可知，，也成等比数列， ana2a4a8∴(∴(
1211)＝· a4a2a8??⑵ a1<0，d>0时，解不等式组 ???3．等比数列的常用性质：
1112
＋3d)＝(＋d)(＋7d) a1a1a12
可解得Sn达到最小值时n的值．
化简得d＝
d1，∴＝d a1a1⑴ m，n，p，r∈N，若m＋n＝p＋r，则有 ． 1⑵ {an}是等比数列，则{a2}是 数列． n}、{
an*
又a2a4＋a4a6＋a6a2＝1化简为 1111＋＋＝ a2a4a6a2a4a6⑶ 若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列． 典型例题 例1. 是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件： ① a＋b＋c＝6
② a、b、c成等差数列．
③ 将a、b、c适当排列后成等比数列． 解：设存在这样的三位数a，b，c．
由a＋b＋c＝6，2b＝a＋c 得：b＝2，a＋c＝4
① 若b为等比中项，则ac＝4，∴ a＝c＝2与题设a≠c相矛盾． ② 若a为等比中项，则a＝2c，则a＝c＝2(舍去)或a＝－4，c＝8． ③ 若c为等比中项，则c＝2a，解得c＝a＝2(舍去)或c＝－4，a＝8． ∴存在着满足条件的三个数：－4，2，8或8，2，－4．
变式训练1.若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，,,成等差数列，则a、c、e成（ ） A．等差数列 B．等比数列
22
∴3·∴
111＝· a4a4a2a61111·＝3，即(＋d)(＋5d)＝3 a2a6a1a12d·6d＝3 ∴d＝∴
111，＝ a12211n＝＋(n－1)d＝ ana12∴an＝
2 n111b?ca?ca?b也成等差数列。 ,,成等差数列，求证：,,abcabc111211解析：由,,成等差数列，则??,?2ac?b(a?c),
abcbac变式训练2.已知
b?ca?b(b?c)?c?a(a?b)bc?c2?a2?abb(a?c)?a2?c2(a?c)22(a?c)∴ ??????acacacacacb即
111cdeb?ca?ca?b成等差数列。 ,,abc例3. 已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．求证：△ABC是等边三角形． 解：由2B＝A＋C，且A＋B＋C＝180°，B＝60°，由a、b、c成等比数列，有b＝ac
- 10 -
2
a2?c2?b2a2?c2?ac1cosB＝＝＝
2ac2ac2所以：得：
则a= （ ） ?10，
an?2n??a1?21??4n?1
得(a－c)＝0，∴ a＝c ∴△ABC为等边三角形．
变式训练3.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a?3b?c A.4 B.2 C.-2 D.-4
2
an?4n?2n （其中n为正整数）
归纳小结
1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m、n、p、r∈N*，若m＋n＝p＋r，则am＋an＝ap＋ar（或am·an＝ap·ar）进行解答． 2．若a、b、c成等差（或等比）数列，则有2b＝a＋c（或b＝ac）．
3．遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180°这一性质． 4．在涉及an与Sn相关式子中用Sn－1和Sn的关系表示an时应该注意“n≥2”这个特点． 第4课时 数列求和 $基础知识$ 一.公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1.差数列求和公式： Sn2
归纳小结 ?a?c?2b,?2?答案： D.解析：依题意有?bc?a,?a?3b?c?10.??a??4,??b?2, ?c?8.?1例4. 数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3……
3求：⑴ a2、a3、a4的值及{an}的通项公式； ⑵ a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值. 解析：(1)由a1＝1，an＋1＝a2＋a3)＝
16 27111111411Sn，n＝1，2，3，…得a2＝S1＝a1＝，a3＝S2＝(a1＋a2)＝，a4＝S3＝(a1＋333333933?n(a1?an)n(n?1)?na1?d22
114114n－2
由an＋1－an＝(Sn－Sn－1)＝an(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)，又a2＝，∴an＝·()(n≥2)
333333?1n?1?∴ {an}通项公式为an＝?14n?2
?()n?2??33(2) 由(1)可知a2、a4、…a2n是首项为
142
，公比为()，项数为n的等比数列. 33?na1?2.等比数列求和公式： Sn??a1(1?qn)a1?anq??1?q1?q?n(q?1)(q?1)
n1123. Sn??k?n(n?1) 4. Sn??k?n(n?1)(2n?1)
26k?1k?141?()2n13∴ a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝×
4231?()3342n
＝[()－1] 735. Sn1??k3?[n(n?1)]2
2k?1n二.错位相减法 可以求形如 {an?bn}的数列的和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列.
变式训练4.设数列
?an?的前n项的和Sn?412an??2n?1?，n?1,2,3...... 333三.裂项相消法
（1） an?求首项a1与通项an。
11111???(a?b) （2）n(n?1)nn?1a?ba?b1111?(?)
an?an?1danan?14122a?2
解析：（I）a1?S1?a1??2?，解得：1333441an?1?Sn?1?Sn?an?1?an??2n?2?2n?1??a?2n?1?4?a?2n?n?1n333
n?an?2?是公比为4的等比数列
- 11 -
（3）若 {an}为等差数列则
所以数列
(2n)2111?1?(?) （4）an?(2n?1)(2n?1)22n?12n?11111?[?] （5）an?n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n?212(n?1)?n1111?n??n??,则S?1?(6) an?nn(n?1)2n(n?1)2n?2n?1(n?1)2n(n?1)2n
练习2:(1)数列{an}的通项公式是an＝
1n?n?1sin1?tan(n?1)?tann(7)
cosncos(n?1)(9) n?n!?(n?1)!?n! (10) an四.分组转化法
(8) Cnm?1mm?Cn?1?Cn
，若前n项之和为10，则项数n为
A.11 B.99 C.120 D.121
?Sn?Sn?1(n?2)
(2) 求Sn?1!?2?2!?3?3!?????n?n!.
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差.等比或常见的数列，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和. 五.倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法. $典型例题$ 一.分组转化法
(2n)2(3) 已知数列{an}的通项公式an?，求它的前n项和.
(2n?1)(2n?1)(4) 已知数列{an}的通项公式an
三.错位相减法
例3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2n?1,求它的前n项和. 2[n(n?1)]111111111例1. 已知数列：1,(1?),(1??),(1???),(1???????n?1)，求它的前n项的和Sn
224248242
练习1:数列121111,2,3,4,?前n项的和为 （ 248162?( ）
22an?12)，bn?an?2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 2
A.
1n?n?
22n B.?1n?n1n?n1n?n??1???? C. D.
2222n2n2n?1二.裂项相消法
111??????例2. 求Sn?1?. 1?21?2?31?2?3?????n
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