设二面有D1﹣AE﹣D的平面角的大小为θ， A（1，0，0），B（0，0）， CD1=∴D1（0，0，

），

=（﹣1，

=，0），

，解得=（0，﹣

，

），

，0），D1（0，﹣

，

），C（﹣2，

，

设平面ABD1的一个法向量=（x，y，z）， 则

，取z=1，得=（

），

平面ABC的法向量=（0，0，1）， 设二面角D1﹣AB﹣C的平面角为θ， 则cosθ=

=

．

．

∴二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值为

22．已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．

（1）求曲线C的方程； （2）求|AB|的最小值；

（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．

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【考点】抛物线的简单性质．

【分析】（1）利用抛物线的定义，可得曲线C的方程x2=4y．

（2）设E（a，﹣2），A，B的坐标，由题设知x12﹣2ax1﹣8=0．同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0所以x1+x2=2a，x1?x2=﹣8，可得AB中点，由此可知直线AB方程，即可求|AB|的最小值；

（3）由（2）知AB中点，直线AB的方程为，分类讨论，利用条件，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1，

∴P的轨迹是以（0，1）为焦点的抛物线，曲线C的方程x2=4y； （2）设E（a，﹣2），A（x1，

），B（x2，

），

∵，∴y′=，过点A的抛物线切线方程为y﹣=

， 1（x﹣x1）

∵切线过E点，∴整理得：x12﹣2ax1﹣8=0

同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0，∴x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两根，∴x1+x2=2a，x1?x2=﹣8，

可得AB中点为（a，又

=，

=（x﹣a）即y=x+2， ，

；

），直线AB的方程为y=x+2．

=﹣（x﹣a），

，﹣2），

）

∴直线AB的方程为y﹣∴|AB|=

∴a=0时，|AB|的最小值为4

（3）由（2）知AB中点N（a，

当a≠0时，则AB的中垂线方程为y﹣∴AB的中垂线与直线y=﹣2的交点M（∴|MN|2=

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∵|AB|=，

若△ABM为等腰直角三角形，则|MN|=|AB|， ∴

=（

）2，

解得a2=﹣4，∴不存在

当a=0时，经检验不存在满足条件的点M

综上可得，不存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形．

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2017年3月16日

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