直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法 新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 附： P（K2≥K）
K K2=
0.050 3.841
．
0.010 6.635
0.001 10.828
【分析】（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案； （2）由频率分布直方图可以将列联表补全，进而计算可得K2=
≈15.705＞6.635，与附表比较即可得答案；
（3）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得： P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62； （2）根据题意，补全列联表可得：
箱产量＜50kg
62 34
箱产量≥50kg
38 66
总计 100 100
旧养殖法 新养殖法
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总计
则有K2=
96 104
≈15.705＞6.635，
200
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由频率分布直方图可得： 旧养殖法100个网箱产量的平均数
1=（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×
0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5=5×9.42=47.1；
新养殖法100个网箱产量的平均数
2=（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×
0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5=5×10.47=52.35； 比较可得：1＜2，
故新养殖法更加优于旧养殖法．
【点评】本题考查频率分布直方图、独立性检验的应用，涉及数据平均数、方差的计算，关键认真分析频率分布直方图．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：垂线，垂足为N，点P满足（1）求点P的轨迹方程； （2）设点Q在直线x=﹣3上，且过C的左焦点F．
【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程； （2）设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积?
=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l
=
．
+y2=1上，过M作x轴的
的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证． 【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0）， 设P（x，y），由点P满足可得（x﹣x0，y）=可得x﹣x0=0，y=
=．
（0，y0）， y0，
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即有x0=x，y0=代入椭圆方程
，
+y2=1，可得
+
=1，
即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2； （2）证明：设Q（﹣3，m），P（?
=1，可得（
cosα，
cosα，
sinα），（0≤α＜2π）， cosα，m﹣
sinα）=1，
sinα）?（﹣3﹣msinα﹣2sin2α=1，
即为﹣3
cosα﹣2cos2α+
当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π， 解得m=即有Q（﹣3，椭圆由=3+3
?
，
），
+y2=1的左焦点F（﹣1，0）， =（﹣1﹣cosα﹣3（1+
cosα，﹣
sinα）?（﹣3，
）
cosα）=0．
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由
?
=1，
可得（m，n）?（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1， 又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2， 即有nt=3+3m，
又椭圆的左焦点F（﹣1，0）， ?
=（﹣1﹣m，﹣n）?（﹣3，t）=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0， 则
⊥
，
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
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21．（12分）设函数f（x）=（1﹣x2）ex． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．
（2）化简f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．f（x）≤ax+1，下面对a的范围进行讨论： ①当a≥1时，②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），推出结论；③当a≤0时，推出结果，然后得到a的取值范围． 【解答】解：（1）因为f（x）=（1﹣x2）ex，x∈R， 所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex， 令f′（x）=0可知x=﹣1±当x＜﹣1﹣0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣﹣1+
）上单调递增；
），（﹣1+
，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣
，
或x＞﹣1+
，
时f′（x）＜0，当﹣1﹣
＜x＜﹣1+
时f′（x）＞
（2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．下面对a的范围进行讨论： ①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）ex，则h′（x）=﹣xex＜0（x＞0）， 因此h（x）在[0，+∞）上单调递减， 又因为h（0）=1，所以h（x）≤1， 所以f（x）=（1+x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0）， 所以g（x）在[0，+∞）上单调递增， 又g（0）=1﹣0﹣1=0， 所以ex≥x+1．
因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2， 所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2）， 取x0=
∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，
所以f（x0）＞ax0+1，矛盾； ③当a≤0时，取x0=
∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，
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