常用数学公式汇总

一、基础代数公式 22

1. 平方差公式：（a＋b）·（a－b）＝a－b 2. 完全平方公式：（a±b)2＝a2±2ab＋b2 3. 完全立方公式：（a±b)3=（a±b）(a2?ab+b2) 4. 立方和差公式：a3+b3=(a?b)(a2+?ab+b2)

5. am·an＝am＋n am÷an＝am－n (am)n=amn (ab)n=an·bn 二、等差数列 （1）sn ＝

n?(a1?an)1＝na1+n(n-1)d；

22（2）an＝a1＋（n－1）d； （3）项数n ＝

an?a1＋1； d（4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b； （5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ；

（6）前n个奇数：1，3，5，7，9，?（2n—1）之和为n2

（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和） 三、等比数列 （1）an＝a1qn－1； a1（· 1－qn）（2）sn ＝（q?1）

1?q（3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab； （4）若m+n=k+i，则：am·an=ak·ai ； （5）am-an=(m-n)d （6）

am＝q(m-n) an（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和） 四、不等式 （1）一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

?b?b2?4ac?b?b2?4ac 其中：x1=；x2=（b2-4ac?0）

2a2abc，x1·x2= aaa?b2a?b?c3（2）a?b?2ab ()?ab a2?b2?2ab ()?abc

23根与系数的关系：x1+x2=-

（3）a2?b2?c2?3abc a?b?c?33abc 推广：x1?x2?x3?...?xn?nnx1x2...xn （4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。

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（5）两项分母列项公式：

11bb=(—)× mm?aam(m?a)三项分母裂项公式：

bb11=[—]×

2am(m?a)(m?2a)m(m?a)(m?a)(m?2a)五、基础几何公式 1.勾股定理：a2+b2=c2(其中：a、b为直角边，c为斜边) 直角边 3 6 9 12 15 5 10 7 常用勾 直角边 4 8 12 16 20 12 24 24 股数 斜边 5 10 15 20 25 13 26 25 2.面积公式： 8 15 17 111 正方形＝a2 长方形＝ a?b 三角形＝ah?absinc 梯形＝(a?b)h

222n2

圆形＝?R2 平行四边形＝ah 扇形＝R ?03603.表面积：

正方体＝6a2 长方体＝2?(ab?bc?ac) 圆柱体＝2πr2＋2πrh 球的表面积＝4?R2 4.体积公式

14 正方体＝a3 长方体＝abc 圆柱体＝Sh＝πr2h 圆锥＝πr2h 球＝?R3

335.若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧＝πrl； 6.图形等比缩放型：

一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则： 1.所有对应角度不发生变化；

2.所有对应长度变为原来的m倍； 3.所有对应面积变为原来的m2倍； 4.所有对应体积变为原来的m3倍。 7.几何最值型：

1.平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。 2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。 3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。 4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。 六、工程问题 工作量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作量÷工作时间； 工作时间＝工作量÷工作效率； 总工作量＝各分工作量之和； 注：在解决实际问题时，常设总工作量为1或最小公倍数 七、几何边端问题 （1）方阵问题：

1.实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2=（外圈人数÷4+1）2=N2 最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4

2.空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2

＝（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。 ★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。

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3.N边行每边有a人，则一共有N(a-1)人。

4.实心长方阵：总人数=M×N 外圈人数=2M+2N-4 5.方阵：总人数=N2 外圈人数=4N-4

例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10－3）×3×4＝84（人） (2)排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人 (3)爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬（N-1）楼，从第N层爬到第M层要怕M?N层。 八、利润问题 （1）利润＝销售价（卖出价）－成本；

利润率＝

利润销售价－成本销售价＝＝－1； 成本成本成本销售价＝成本×（1＋利润率）；成本＝（2）利息＝本金×利率×时期；

本金＝本利和÷（1+利率×时期）。

销售价。

1＋利润率期限（1?利率） 本利和＝本金＋利息＝本金×（1+利率×时期）=本金?；

月利率=年利率÷12； 月利率×12=年利率。

例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2?（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”

?2400×（1+10．2％×36） =2400×1．3672 =3281．28（元） 九、排列组合 3?7?6?5 （1）排列公式：Pm（n－2）?（n－m＋1），（m≤n）。 A7n＝n（n－1）

5?4?3

3?2?1（3）错位排列（装错信封）问题：D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，

mm30（2）组合公式：Cm。c5?n＝Pn÷Pm＝（规定Cn＝1）

N（4）N人排成一圈有AN/N种； NN枚珍珠串成一串有AN/2种。

十、年龄问题 关键是年龄差不变；①几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄 ②几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差 十一、植树问题 （1）单边线形植树：棵数＝总长?间隔＋1；总长=（棵数-1）×间隔 （2）单边环形植树：棵数＝总长?间隔； 总长=棵数×间隔

（3）单边楼间植树：棵数＝总长?间隔－1；总长=（棵数+1）×间隔 （4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。

（5）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段 十二、行程问题 （1）平均速度型：平均速度＝

2v1v2 v1?v2第 3 页 共 8 页

（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间 追及问题：追击距离=（大速度—小速度）×追及时间 背离问题：背离距离=（大速度+小速度）×背离时间 （3）流水行船型：

顺水速度＝船速＋水速； 逆水速度＝船速－水速。 顺流行程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间 逆流行程=逆流速度×逆流时间=（船速—水速）×逆流时间 （4）火车过桥型：

列车在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度

列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度 列车速度=（桥长+车长）÷过桥时间 （5）环形运动型：

反向运动：环形周长=（大速度+小速度）×相遇时间 同向运动：环形周长=（大速度—小速度）×相遇时间 （6）扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数×（1?u梯u人），（顺行用加、逆行用减）

（7）队伍行进型：

对头?队尾：队伍长度=（u人+u队）×时间 队尾?对头：队伍长度=（u人－u队）×时间 （8）典型行程模型： 等距离平均速度：u?2u1u2 （U1、U2分别代表往、返速度） u1?u2ut?t2t1t2，车?21 u人t2?t1t1?t2 等发车前后过车：核心公式：T?t同u1?u2? t反u1?u2 等间距同向反向：

不间歇多次相遇：单岸型：s?离）

3s1?s2 两岸型：s?3s1?s2 （s表示两岸距22t逆t顺 无动力顺水漂流：漂流所需时间=（其中t顺和t逆分别代表船顺溜所需时间和逆

t逆?t顺流所需时间） 十三、钟表问题 基本常识： 111，分针每小时可追及 1212o

②时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成18022次。 ③钟表一圈分成12格，时针每小时转一格（300），分针每小时转12格（3600）

1 ④时针一昼夜转两圈（7200），1小时转圈（300）；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈。

12 ①钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的

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