(1)求三棱台的斜高；

(2)求三棱台的侧面积和表面积.

解 (1)设O1、O分别为正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则

O1O＝，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的斜高；

32

3

过D1作D1E⊥AD于E，则D1E＝O1O＝，

2因为O1D1＝

333

×3＝，OD＝×6＝3， 626

33

＝. 22

则DE＝OD－O1D1＝3－在Rt△D1DE中，

D1D＝D1E2＋ED2＝ ?3?2＋?3?2＝3(cm). ?2??????2?

故三棱台的斜高为3 cm.

(2)设c、c′分别为上、下底的周长，h′为斜高，

S侧＝(c＋c′)h′＝(3×3＋3×6)×3＝S表＝S侧＋S上＋S下＝

＝

9932

(cm). 4

12122732

(cm)， 2

2733232

＋×3＋×6 244

27329932

故三棱台的侧面积为 cm，表面积为 cm.

24

题型四 求简单几何体的体积

例4 (2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 答案

7

121222

解析 设新的底面半径为r，由题意得πr·4＋πr·8＝π×5×4＋π×2×8，解得r33＝7.

思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.

如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.

答案

2

3

解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，容易求得EG＝

HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝

123， 2

122

∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，

224

12122

∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝. 34243题型五 与球有关的切、接问题

例5 (2016·扬州模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，

AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________.

答案

13

2

解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，

则垂足为BC的中点M.

15

又AM＝BC＝，

22

OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝

引申探究

1252

2

132

＋6＝. 2

1.已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？

解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r. 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 4433

从而V外接球＝πR＝π×(23)＝323π，

33

V内切球＝πr3＝π×23＝

434332π

. 3

2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？

解 正四面体的表面积为S1＝4·

3122

·a＝3a，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝44

2

2

166πaS13a632

·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr＝，则＝＝. 43126S2πa2π

63.已知侧棱和底面边长都是32的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？ 解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3

2

2

2×2＝6，高为

－

12

2

＝3，

因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.

思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，

PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.

(2016·全国丙卷改编)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若

AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.

答案

9π 2

解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V9π

的最大值为. 2

15.巧用补形法解决立体几何问题

典例 (2016·盐城模拟)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且

AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________.

思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成.“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等. 解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V111

＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96. 222

几何体

答案 96

1.给出下列命题：

①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱. 其中正确命题的序号是________. 答案 ①

2.(2016·连云港模拟)五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它