思维升华 (1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.
(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.
(1)以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为________. (2)给出下列四个命题：
①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；
④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为________. 答案 (1)1 (2)①②③
解析 (1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故正确的命题个数为1.
(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确.
综上，命题①②③不正确.
题型二 空间几何体的直观图
例2 (1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________.
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是________.
①正方形； ②矩形； ③菱形；
④一般的平行四边形. 答案 (1)
62
a (2)③ 16
解析 (1)如图①②所示的实际图形和直观图，
13
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′
24＝
261166
O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2. 2822816
(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42 cm，CD＝C′D′＝2 cm.
∴OC＝OD＋CD＝
2
2
2
2
＋2＝6(cm)，
2
∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形. 思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出.
(2016·镇江模拟)如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是
边长为a的正三角形，则△ABC的面积为________.
答案
62a 2
解析 建立如图所示的坐标系xOy″，△A′B′C′的顶点C′在y″轴上，边A′B′在x轴上，把y″轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A，B点即为A′，
B′点，长度不变.
已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
OC′A′C′由正弦定理得＝，
sin∠OA′C′sin 45°
sin 120°6
所以OC′＝a＝a，
sin 45°2所以原三角形ABC的高OC＝6a， 162
所以S△ABC＝×a×6a＝a.
22
题型三 求空间几何体的表面积
例3 (1)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为______. 答案 12
解析 由题意知该六棱锥为正六棱锥，∴设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′. 11
由题意，得×6××2×3×h＝23，
32∴h＝1，∴斜高h′＝1＋1
∴S侧＝6××2×2＝12.
2
2
3
2
＝2，
(2)(2016·苏州模拟)如图，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB与AC都成45°角，求此斜三棱柱的表面积.
解 如图，过A′作A′D⊥平面ABC于D，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
连结A′E，A′F，AD. 则由∠A′AE＝∠A′AF，
AA′＝AA′，
又由题意知A′E⊥AB，A′F⊥AC， 得Rt△A′AE≌Rt△A′AF， ∴A′E＝A′F，∴DE＝DF， ∴AD平分∠BAC，
又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′， 而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′， ∴四边形BCC′B′是矩形，
∴斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin 45°＋ab＝(2＋1)ab. 又∵斜三棱柱的底面积为2×
323
a＝a2， 42
32
a. 2
∴斜三棱柱的表面积为(2＋1)ab＋
思维升华 (1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况.
(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
3
跟踪训练3 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm. 2