第八章 立体几何与空间向量 8.1 空间几何体的结构及其表面积、体

积教师用书 理 苏教版

1.多面体的结构特征

2.旋转体的形成

几何体 圆柱 圆锥 圆台 球

3.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是

(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.

(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或

旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 z′轴的线段.

(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

4.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称 几何体 柱体 (棱柱和圆柱) 锥体 (棱锥和圆锥) 台体 (棱台和圆台) 球

5.常用结论

(1)与体积有关的几个结论

表面积 体积 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 13S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋S上S下)h 4313S＝4πR2 V＝πR3 ①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (2)几个与球有关的切、接常用结论 a.正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝3a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a＋b＋c. c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)斜二测画法中的“三变”与“三不变”

坐标轴的夹角改变，??

“三变”?与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，

??图形改变.平行性不改变，??

“三不变”?与x，z轴平行的线段的长度不改变，

??相对位置不改变.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × )

2

2

2

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × )

(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( × ) (4)圆柱的侧面展开图是矩形.( √ )

(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ ) (6)菱形的直观图仍是菱形.( × )

1.(教材改编)下列说法正确的是________. ①相等的角在直观图中仍然相等； ②相等的线段在直观图中仍然相等； ③正方形的直观图是正方形；

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行. 答案 ④

解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变.故④正确. 2.(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________ cm. 答案 2

解析 S表＝πr＋πrl＝πr＋πr·2r＝3πr＝12π， ∴r＝4，∴r＝2(cm).

3.如图，直观图所表示的平面图形是________.(填序号)

2

2

2

22

①正三角形 ②锐角三角形 ③钝角三角形 ④直角三角形 答案 ④

解析 由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴.直观图还原为平面图形是直角三角形.故④正确.

4.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为

________. 答案

23a 12

解析 取AC的中点O，连结DO，BO，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形.因为DO＝BO＝＝22

a，BD＝a，所以△BDO也是等腰直角三角形.又因为DO⊥AC，DO⊥BO，AC∩BO＝O，所以2

ACDO⊥平面ABC，即DO就是三棱锥D－ABC的高.因为S△ABC＝a2，所以三棱锥D－ABC的体积为

112223×a×a＝a. 32212

5.(2016·南京、淮安、盐城二模)表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________. 答案 1∶2

6－r解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πr＋2πrh＝12π，得h＝，所以圆柱的

2

2

1

2

r体积V＝πrh＝π(6r－r)，令V′＝π(6－3r)＝0，得r＝2，且此时体积V最大，故底

232

r21

面半径与高的比＝＝.

h222

题型一 空间几何体的结构特征 例1 给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③④

解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体

ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.