xidlnL????i?1?n?0 ?
d??
n?xi?1nin?x
七（6）、设总体X的概率分布为P{X= x}=px(1-p)1-x,x?0,1。 设x1,x2,x3,?,xn为总体X的一组简单随机样本，试用最
大似然估计法求p的估计值。 解：
L??p?1?p?xii?1n1?xinn???? lnL???xi?lnp??n??xi?ln?1?p?
i?1?i?1???n1ndlnL?n?1??1????xi???n??xi??0 p??xi?x
i?1ni?1dp?i?1?p??1?p 七（7）、设总体X服从参数为
n1的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 ?n解： L??n1i?1?e1?xi?1xi?1?1n?1???i??1 lnL?nln????xi ???e????i?1???1ndlnLn1n????2?xi?0 ???xi?x
ni?1d???i?1 七（8）、设总体X服从参数为?的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数
L???ei?1nn??xi??exin??i??1n lnL?nln????xi
i?1ndlnLnn??n?1 ???xi?0 ?nd??i?1?xixi?1七（9）、设总体X的概率密度函数是
(x??)21?12f(x;?)?e, ???x???
2?x1,x2,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？
解：似然函数
?xi???21?1 L??e2?i?12?n?n1n2??1nexp????xi???? lnL??ln?2????(xi??)2 n22i?1?2i?1?2?1?第29页，共38页
1ndlnLn???(xi??)?0 ???xi?x
ni?1d?i?1七（10）、设总体X的概率密度函数是
x?1f(x;?)?e2?, ???x???
2??2x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？
解：似然函数
i1n?2? L??()e?i?12??nx2?nn1n2?1n2??xi exp???xi? lnL??ln?2???ln??ni?1i?1222??2??2??1?1n2dlnLn1n2?????xi ???xi
ni?1d?2?2?2i?1
八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设零件长度
X服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )
、解：由于零件的长度服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95
?/n所以?的置信区间为(x?u0.025?n,x?u0.025?n) 经计算 x?19?xi?19i?6
1 ?的置信度为0.95的置信区间为 (6?1.96?1 即(5.347，6.653) 3,6?1.96?3)八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (?, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）： 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7
若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径?的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )
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解：由于滚珠的直径X服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95
?/n所以?的置信区间为：(x?u0.025?n,x?u0.025?n) 经计算 x?19?xi?19i?14.911
?的置信度为0.95的置信区间为 (14.911?1.96?0.053,14.911?1.96?0.053) 即(14.765，15.057)
八（3）、工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布N(?,?2),现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其
口径如下:
14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7
已知零件口径X的标准差??0.15，求?的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )
解：由于零件的口径服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95
?/n所以?的置信区间为：(x?u0.025?n,x?u0.025?n) 经计算 x?19?xi?19i?14.9
0.15 ? 的置信度为0.95的置信区间为 (14.9?1.96?0.15 即(14.802 ,14.998) 3,14.9?1.96?3)八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮
口速度的方差?的置信度为0.95的置信区间。
2(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)
因为炮口速度服从正态分布，所以
W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95
?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???
0.975?0.025?2
?8?98?9??2的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?4.106,33.028?
17.5352.180??第31页，共38页
八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下：
x?162.67cm, s?4.20cm。求该校女生身高方差?2的置信度为0.95的置信区间。
(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)
解：因为学生身高服从正态分布，所以
W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95
?(n?1)S2?8?4.228?4.22?(n?1)S2?2?的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1??? ?的置信度0.95的置信区间为 ?17.535,2.180? 即
0.975???0.025?2
?8.048,64.734?
八（6）、一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：x?16.10cm, s?2.10cm。设螺丝钉的长度服从正态分布，
试求该批螺丝钉长度方差?的置信度为0.95的置信区间。
2(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)
解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以
W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95
?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???
0.975?0.025?2?8?2.1028?2.102??的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?2.012,16.183?
17.5352.180??22八（7）、从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸 的平均值x?32.58，样本方差S?0.097。假定该产
品的尺寸X服从正态分布N(?,?),其中?与?均未知。求?的置信度为0.95的置信区间。 由于该产品的尺寸服从正态(已知：?0.0252(20)?34.17, ?0.9752(20)?9.591；?0.0252(19)?32.852, ?0.9752(19)?8.907)解：
分布，所以
222
W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(19)?W??0.9752(19)}?0.95
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