2014年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试

数 学

【注意事项】

1.本试卷共4页，总分150分，答题时长120分钟，请掌握好时间。

2.请将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。 3.考生务必在答题卷上答题，在试卷上作答无效。考试结束后，请将试卷 和答题卷一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷相应表格中．） ．．．．．．．．．．

1．将一些棱长为1的正方体摆放在3?3的平面上（如图1所示），其正视图和侧视图分别如图2、图3，记摆放的正方体个数的最大值为m，最小值为n，则m?n?（★） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

图1图2图3第1题图2.多项式4(x2?1)?(x?1)2(x?3)?(x?1)3等于下列哪个选项（★）

A．2x(x?1)2 B． 2x(x?1)(x?1) C． x(x?1)(x?1) D． 2(x?1)2(x?1) 3.甲、乙两人在玩一种纸牌，纸牌共有40张.每张纸牌上有1至10中的一个数，每个数有四种不同的花色.开始时，每人有20张牌，每人将各自牌中相差为5的两张牌拿掉，最后甲还有两张牌，牌上的数分别为4和a，乙也还有两张牌，牌上的数分别为7和b，则b?a的值是（★）

A． 3 B． 4 C． 6 D． 7

4.已知x为实数，且|3x?1|?|4x?1|???|17x?1|的值是一个确定的常数，则这个常数的值是（★）：

A． 5 B． 10 C． 15 D． 75

5.[x]表示不超过实数x的最大整数(如[?]=3,[-?]=-4,[?4]=-4),记M=[x]+[2x]+[3x]. 将不能表示成M形式的正整数称为“隐形数”.则不超过2014的“隐形数”的个数是(★) A． 335 B． 336 C． 670 D． 671

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6.如图，点O为锐角?ABC的外心，点D为劣弧AB的中点， 若?BAC??,?ABC??,且???,则?DCO?(★) A．

DB???2 B．

???3

C．

???3 D．

???4

AOC第6题图二、填空题（本大题共10小题，每小题6分，共60分．将答案填在答题卷中相应横线上．） ．．．．．．．．．．．7.如果不等式|x?a|?|x|?2没有实数解，则实数a的取值范围 ； 8.已知实数x满足2x2?x3?x?2?x，则x的取值范围是 ； 9.函数y?x2?4x?13?x2?4x?8的最大值为 ；

10.设a、b为实数，已知坐标平面上的抛物线y?x2?ax?b与x轴交于P、Q两点，且线段

PQ?7.若抛物线y?x?ax?b?8与x轴交于R、S两点，则线段RS= ；

211.正方形ABCD中，两个顶点到直线l的距离相等，且均为另两个顶点到直线l的距离的两倍，则这样的直线有 条；

212.使二次方程x2?2px?p?5p?1?0的两根均为整数的质数p的所有可能值

为 ；

13.在平面直角坐标系中,不管实数a取什么实数,抛物线y?ax2?2x?3的顶点都在同一条直线上,这条直线的函数关系式是 ；

111???1，14.已知实数a,b,c满足a?b?c?1，则abc? ；

a?b?cb?c?ac?a?b15.如图，P为等边?ABC内一点，PA?2,PB?1,PC?3,则?ABC的面积为 ； 16.如图，在?AOB的边OA上过到点O的距离为1,3,5,7,?的点作互相平行的直线，分别与OB相交，得到如图中所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1,S2,S3,?． 则

S2014S2013? ．

AS3911?ABPB第15题图S2CS1O1357 第16题图数学试卷 第2 页 共4页

三、解答题（本大题共5小题，共60分．将答案填在答题卷中相应位置处，答题应写出文．．．．．．．．．．．

字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本题满分10分）计算14?59?302?13?66?402

18.（本题满分12分）甲、乙两辆汽车同时从同一地点A出发，沿同方向直线行驶，每辆车

最多只能带240L汽油（含油箱中的油），途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km，两辆车都必须沿原路返回出发点A，但是两车相互可借用对方的油.请你设计

一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发点A，并求这辆车一共行驶了多少千米？

19.（本题满分12分）如图，四边形ABCD内接于?O，AB是?O的直径，AC和BD相

交于点E，且DC?CE?CA. （1）求证：BC?CD

（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF?CD交CD的延长线于点F，若

2PB?OB,CD?22,求DF的长．

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第19题图20.（本题满分13分）如图，已知抛物线y?k8x轴从左至右依次交于A,B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线

(x?2)(x?4)（k为常数，且k?0）与

y??33与抛物线的另一交点为D． x?b（1）若点D的横坐标为?5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A,B,P为顶点的三角形与?ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

第20题图

21.（本题满分13分）一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”.例如，16?5?3就是一个“好数”. （1）2014是不是“好数”？说明理由.

（2）从小到大排列，第2014个“好数”是哪个自然数？

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22数学试题答案及评分标准

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 题号 答案

1 C 2 B 3 D 4 A 5 D 6 A 二、填空题（本大题共10小题，每小题6分，共60分．） 题号 答案 题号 答案 （7） （8） （9） （10） 9 （15） （11） 12条 （16） a?2或a??2 （12） 3或7 0?x?2 （13） 17 （14） 0 y?x?3 73 44027 4025三、解答题（本大题共5小题，共60分．答题应写出文字说明、证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．

算步骤） ．．．

17.解：原式=14?50?2450?9?13?50?2800?161

?14?(52?3)2?3?(52?4)2?11???????????????????5分

7?527?52?52?7?7?52

??14????????????????????????10分

18.解:设尽可能远离出发点A的甲汽车行驶了xkm,乙汽车行驶了ykm,则

?x?y?240?12?2 ?x?y?240?12?11(x?y)?(x?y)?4320,即甲车一共行驶了4320km.?????????6分 22具体的方案是:两辆汽车行驶了720km后,乙车借给甲车60L汽油,并在此地等着,甲车继续前进1440km后返回,碰到乙车时再借60L汽油,然后两车回到出发点A.??????12分

而x?19.（1）证明：

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?DC2?CE?CA,

∴?CDE∽?CAD∴?CDB??DBC， ∵四边形ABCD内接于?O，

∴BC?CD??????????????????3分 （2）解：如图，连接OC， ∵BC?CD，∴?DAC??CAB，

又∵AO?CO，∴?CAB??ACO，∴?DAC??ACO， ∴AD∥OC，∴

第19题图

PCPO?, PDPA∵PB?OB,CD?22,∴PC2?,?PC?42.

PC?223又∵PC?PD?PB?PA∴PA?4也就是半径OB?4，????????6分 在RT?ACB中，AC?AB2?BC2?82?(22)2?214,

???∵AB是直径，∴?ADB??ACB?90∴?FDA??BDC?90,?CBA?CAB?90 ∵?BDC??CAB∴?FDA??CBA 又∵?AFD??ACB?90,∠AFD=∠ACB=90° ∴?AFD∽?ACB∴

?AFAC214???7,????????????9分 FDCB22在RT?APF，设FD?x，则AF?7x，

32.????????????12分 2∴(7x)2?(x?62)2?122,求得DF?20.解：（1）抛物线y?k8(x?2)(x?4)，令y?0，解得x??2或x?4，

∴A(?2,0)，B(4,0)．∵直线y??33x?b经过点B(4,0)，∴解得b?43， 3∴直线BD解析式为：y??33x?433．

当x??5时，y?33，∴D(?5,33)在抛物线y?k8(x?2)(x?4)上，

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解得b?83．???????????????????????????3分 9（2）由抛物线解析式，令x?0，得y??k，∴C(0,?k)，OC?k．

点P在第一象限内的抛物线上，所以?ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是?ABC∽?APB或?ABC∽?ABP．

①若?ABC∽?APB，则有?BAC??PAB，如答图2﹣1所示．设P(x,y)，过点P作PN?x轴于点N，则ON?x,PN?y． tan?BAC?tan?PAB，即：

kyk?,?y?x?k. 2x?22∴P(x,kx?k)，代入抛物线解析式整理得：x2?6x?16?0， 2解得：x?8或x?2（与点A重合，舍去），∴P(8,5k)． ∵?ABC∽?APB，∴

ACAB?， ABAP45k2?46即，解得：k?．??????????????7分 ?26525k?100②若?ABC∽?ABP，则有?ABC??PAB，如答图2﹣2所示．同理，可求得k?

综上所述，k?2．

45或k?2．?????????9分 5（3）由（1）知：D(?5,33)，如答图3，过点D作DN?x轴于点N，则DN?33，数学试卷 第7 页 共4页

ON?5,BN?9,∴tan?DBA?DN3?,∴?DBA?30?, BN3?过点D作DK?x轴，则?KDF??DBA?30, 过点F作FG?DK于点G，则FG?1DF．由题意，动点M运动的路径为折线2AF?DF，运动时间：t?AF?1DF?AF?FG． 2由垂线段最短可知，折线AF?FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作

AH?DK于点H，则tmin?AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．

∵A点横坐标为?2，直线BD解析式为：

y??33x?433∴F(?2,23).?????????????????????13分

21、（1）2014不是“好数”.如果2014是“好数”，不妨设2014?m2?n2(m、n为自然数)，则(m?n)(m?n)=2?1007，而m?n、m?n的奇、偶性相同，即(m?n)(m?n)要么是奇数要么能被4整除.所以2014不是“好数”.????????????????4分 (2)设k为自然数，由（1）类似可得如4k?2的自然数都不是“好数”

（k?1)2?(k?1)2?4k,(k?1)2?k2?2k?1，

故4k,2k?1的自然数都是“好数”，????????????????????10分 所以从小到大的“好数”为：0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,??所以第n个“好数”为n?1?[]，所以第2014个“好数”为2684.??????????????????????13分

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