∴∴
＝， ＝，
∵AC＝∴∴AN＝
AB，
＝，
AB；故②正确；
a，
作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝由△CMD∽△CDE，可得CM＝由△GHC∽△CDE，可得CH＝∴CH＝MH＝CM， ∵GH⊥CM， ∴GM＝GC， ∴∠GMH＝∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°， ∴∠FEG＝∠DCE， ∵∠ADF＝∠DCE，
∴∠ADF＝∠GMF；故③正确， 设△ANF的面积为m， ∵AF∥CD， ∴
＝
＝，△AFN∽△CDN，
a， a，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m， ∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m， ∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误， 故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二.填空题
1. (2019安徽)（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0
B．4
C．6
D．8
【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，可得点N到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12， ∴EC＝8，FC＝4， ∵点M与点F关于BC对称
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45° ∴∠ACM＝90° ∴EM＝
＝4
＜9
则在线段BC存在点N到点E和点F的距离之和最小为4
∴在线段BC上点N的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9， 同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9． 即共有8个点P满足PE+PF＝9， 故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点N使点N到点E和点
F的距离之和最小是本题的关键．
2.（2019?浙江金华?3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠BDC=∠α B. BC=m·tanα C. AO=
D. BD=
【答案】 C
【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：A.∵矩形ABCD， ∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°， 又∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠BDC=∠BAC=α， 故正确，A不符合题意； B.∵矩形ABCD， ∴∠ABC=90°， 在Rt△ABC中， ∵∠BAC=α，AB=m， ∴tanα=
，
∴BC=AB·tanα=mtanα， 故正确，B不符合题意； C.∵矩形ABCD， ∴∠ABC=90°， 在Rt△ABC中， ∵∠BAC=α，AB=m， ∴cosα=
，
∴AC= ∴AO=
= ，
AC=
故错误，C符合题意； D.∵矩形ABCD， ∴AC=BD， 由C知AC= ∴BD=AC=
= ，
，
故正确，D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】A.由矩形性质和全等三角形判定SAS可得△ABC≌△DCB，根据全等三角形性质可得 ∠BDC=∠BAC=α，故A正确； B.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据正切函数定义可得BC=AB·tanα=mtanα， 故正确；
C.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据余弦函数定义可得AC= 再由AO=
=
，
AC即可求得AO长，故错误；
=
，从而可得BD长，故正确；
D.由矩形性质得AC=BD，由C知AC=
3．（2019?浙江绍兴?4分）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变
【分析】由△BCE∽△FCD，根据相似三角形的对应边成比例，可得CF?CE＝CD?BC，即可得矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等． 【解答】解：∵正方形ABCD和矩形ECFG中， ∠DCB＝∠FCE＝90°，∠F＝∠B＝90°， ∴∠DCF＝∠ECB， ∴△BCE∽△FCD， ∴
，
∴CF?CE＝CB?CD，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等． 故选：D．
【点评】此题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，由相似三角形得出比例线段是解题的关键．