第四章 平面向量与复数
第1课时 平面向量的概念与线性运算
1. 下面有5个命题：
① 单位向量的模都相等；
② 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量； ③ 若a、b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；
④ 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ⑤ 对任意非零向量a、b必有|a＋b|≤|a|＋|b|. 其中正确的是________．(填序号) 答案：①④⑤
解析：①单位向量的模均为1，故①正确；②共线包括同向和反向，故②不正确；③向量不能比较大小，③不正确；④根据向量的表示，④正确；⑤由向量加法的三角形法则知⑤正确．
→1→→→→→→
2. 如图所示，在△ABC中，BD＝DC，AE＝3ED，若AB＝a，AC＝b，则BE＝________(用
2
a、b表示)．
11
答案：－a＋b
24
1→3→→→→3→→3→→→3→3→
解析：BE＝BA＋AE＝BA＋AD＝BA＋(AB＋BD)＝BA＋AB＋·BD＝－AB＋×
444444
1→1→1→→1→1→11BC＝－AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC＝－a＋b. 3442424
→→→
3. 设a、b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为__________．
答案：－1
→→→→→
解析：∵ BD＝BC＋CD＝2a－b，又A、B、D三点共线，∴ 存在实数λ，使AB＝λBD.??2＝2λ，即?∴ p＝－1. ?p＝－λ，?
→→→→→
4. 若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．
答案：直角三角形
→→→→→→→→→→→→→→
解析：OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，→→→→
∴ |AB＋AC|＝|AB－AC|.故A、B、C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
→→→
5. (2014·宿迁质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为________．
3答案： 5
→→→→→→→→
解析：设AB的中点为D，由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM，即3CM
→→3→
＝2MD.如图所示，故C、M、D三点共线，且MD＝CD，也就是△ABM与△ABC对于边
5
3
AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为.
5
→1→→→2→
6. 如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数
311
m的值为________．
3
答案： 11
x→→→→→→1→→→→→
解析：设|BP|＝y，|PN|＝x，则AP＝AN＋NP＝AC－BN ①，AP＝AB＋BP＝AB
4x＋y
y→x→yy28→→＋BN ②，①×y＋②×x得AP＝AB＋AC，令＝，得y＝
3x＋yx＋y4（x＋y）4（x＋y）11
3
x，代入得m＝. 11→→→
7. △ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝________．(用a、b表示)
44答案：a－b
55
解析：如图，∵ a·b＝0， ∴ a⊥b，∴ ∠ACB＝90°，
∴ AB＝AC2＋BC2＝5.又CD⊥AB，
45∴ AC2＝AD·AB，∴ AD＝.
544→4→4
∴ AD＝AB＝(a－b)＝a－b.
5555
→→→→→→
8. 已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________．
答案：3
→→→
解析：由已知条件得MB＋MC＝－MA.如图，因此延长AM交BC于D点，则D为BC的中点．延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB
→2→1→→→→→
的中点，即M为△ABC的重心.AM＝AD＝(AB＋AC)，即AB＋AC＝3AM，则m＝3.
33
→→
9. 在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB＝a，AC
→
＝b，试用a、b表示AG.
→→→→→解：AG＝AB＋BG＝AB＋λBE →→1→＝AB＋λ(BA＋AC)
2
λ→λ→
＝(1－λ)AB＋AC＝(1－λ)a＋b.
22
→→→→→又AG＝AC＋CG＝AC＋mCF →→1→＝AC＋m(CA＋AB)
2
→m→m
＝(1－m)AC＋AB＝a＋(1－m)b，
22m1－λ＝，22
∴ 解得λ＝m＝，
3λ
1－m＝，
2
→11∴ AG＝a＋b.
33
???
ADBE
10. 如图所示，已知△ABC的面积为14 cm2，D、E分别是AB、BC上的点，且＝DBEC
＝2，求△APC的面积．
21→→→→
解：设AB＝a，BC＝b，则AE＝a＋b，DC＝a＋b.
33
2→→
因为点A、P、E和点D、P、C均三点共线，所以存在λ和μ，使得AP＝λAE＝λa＋λ
3
→→1
b，DP＝μDC＝μa＋μb.
3
21λ＝＋μ，3364→→→?21?
因为AP＝AD＋DP＝?3＋3μ?a＋μb，所以有解得λ＝，μ＝，
772
λ＝μ，3
44
所以S△PAB＝S△ABC＝×14＝8(cm2)，
77
6
1－?＝2(cm2)， S△PBC＝14×??7?故S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．
11. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN
11→→→→
分别交AB、AC于M、N两点，若AM＝xAB，AN＝yAC，试问：＋是否为定值？请证
xy
明你的结论．
???
11
解：＋为定值，证明如下：
xy→→→→
设AB＝a，AC＝b，则AM＝xa，AN＝yb，
1→1→1→→
AG＝AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)，
244
1?1→→→1
－xa＋b， 所以MG＝AG－AM＝(a＋b)－xa＝??4?44
→→→
MN＝AN－AM＝yb－xa＝－xa＋yb.
1?1→→→→
因为MG与MN共线，所以存在实数λ，使MG＝λMN，所以??4－x?a＋4b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.
1
－x＝－λx，411
因为a与b不共线，所以消去λ，得＋＝4为定值．
xy1
＝λy，4
第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示
???
π
1. (2014·陕西)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ
2
＝__________．
1答案： 2解析：因为向量a∥b，所以sin2θ－cos2θ＝0.又cosθ≠0，所以2sinθ＝cosθ，故tan1θ＝.
2
→→→
2. 设a、b是不共线的两个非零向量，已知AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b.若A、B、D三点共线，则p＝________．
答案：－1
→→→→→→
解析：BD＝BC＋CD＝2a－b，AB＝2a＋pb，由A、B、D三点共线得AB＝λBD，即
??2λ＝2，
2a＋pb＝2λa－λb，则有?即p＝－1.
?p＝－λ，?
3. (2014·重庆)已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝________．
答案：3 解析：∵ 2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)，又(2a－3b)⊥c，∴ (2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.
→→→→
4. 在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，PQ
→
＝(1，5)，则BC＝________．
答案：(－6，21)
→→→→→→
解析：BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．
→→→→→→→→
5. 已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝2，|AC|＝3.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥→
BC，则实数λ的值为__________．
12答案： 7
→→→→→→→→→→→→
解析：由AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB 2＋AC 2－AC·AB＝0，