GeoGebra 使用入门

数字式的坐标平面系统

GeoGebra 使用入门 1 目录

? 安装 ................................................ 3

? 基本概念 ............................................. 5

跨系统、跨平台 ........................................ 5 使用者接口............................................ 5 输出.................................................. 6 重要的网络资源 ........................................ 7 ? 基础操作 ................................................ 8

1- 新点、交点、中心点 ................................. 8

2- 直线、线段、向量 ................................... 10

3- 垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹 ............... 13

4- 多边形、正多边形 ................................... 20

5- 圆形、扇形、圆弧 ................................... 22

6- 角、斜率........................................... 26

7- 对称、平移、旋转 ................................... 28

8- 数值滑杆、文字 ..................................... 34

9- 对象的属性设定 ..................................... 37

? 进阶操作范例 ............................................ 38

1- 直线方程式、函数 ................................... 38

2- 动态文字处理、代数式定义处理：if 语法的应用 ........ 39

3- 参数曲面(Curve) .................................... 41

4- 序列物件(Sequence) ................................. 42

5- 自订工具列管理 ..................................... 45

? 附录：以代数式建立对象之指令速查表 ...................... 47

2 GeoGebra 使用入门 安装

Windows 接口下的安装

请先到 GeoGebra 的网站：http://www.GeoGebra.org/cms/

( 若要阅读中文画面，请将下拉式选单切换到 Chinese。)

这画面中包含大部分的资源，如「Help」、「中文讨论区」等。从「WebStart」

画面中进行安装，可以保证安装到目前最新的版本，而「下载」页面，则列出目 前最稳定的版本。本说明建议读者可以「WebStart」方式进行安装，点选「启用 GeoGebra」这个连结，画面会导向到「WebStart」页面，步骤如下页：

GeoGebra 使用入门 3

按下「GeoGebra WebStart」按钮后，因为 GeoGebra 是在「Java」环境下执

行的软件，若您的计算机没有安装「Java」环境，则画面会自动导向到「Java」安 装网页，若您的计算机没有「Java」环境，且浏览器没有导向到「Java」安装网页， 您可以自行输入网址：http://java.com/zh_TW/，来进行在线安装，该网站上有 详细的安装说明。

结束「Java」的安装后，若您是以「GeoGebra WebStart」按钮进行安装，则 会自动进行 GeoGebra 的安装，若浏览器没有自动进行安装，则您可以考虑切换到 「下载」页面下载 GeoGebra 的各系统版本进行安装。

4 GeoGebra 使用入门 基本概念

跨系统、跨平台

GeoGebra 是一个在「Java」虚拟机器环境上执行的解析几何作图程序，可以 说是一个数字式的平面直角坐标系统。所以用 GeoGebra 做出来的动态图文件，可以 轻易的在不同操作系统，如 Windows、Linux、FreeBSD、Mac 等不同的操作系统上 执行。或可以在不同执行平台，如 Microsoft IE、Mozilla Firefox 等不同的网 际网络浏览器上，完整而无碍的执行。

使用者接口

GeoGebra 使用入门 5

我们大概可以把 GeoGebra 这样的动态几何软件，想成一个「数字式的坐标平

面作图程序」。这样的程序里，包含了两个主要区域，即代数区、几何区。 几何区

负责显示对象，如点、线、角、函数图形、方程式图形、参数曲面图 形、轨迹、文字、布尔值等，可以让使用者以直觉的方式操作与体验。 代数区负责

列出对象的数学式型态的定义，都是一般数学课本中所熟悉的描

述形式。例如点是以「P＝(2,3)」、直线方程式以「L：2x＋3y＝5」的形态将其 显示。对于每一个对象，可以用鼠标在几何区的「移动功能」下选取或代数区中 直接选取，之后可以按鼠标右键点选出它的属性窗口，进行此对象各个属性的调 整编辑，如名称、定义、样式、大小、装饰、显示条件、显示型式、在几何区的 显示状态等，接口简单易懂，极易操作。另外此区将对象分成「自变对象」、「应 变对象」两类，例如直线可能就是两个点的应变对象。而不管是自变对象或应变 对象皆可以被归类于「辅助对象」，并可在菜单中设定是否在代数区中显示出 来。

对象的建立方式，可以用直觉的几何方式或精确的代数定义方式来建立。几 何建立方式，为先选取上方功能按钮后，在窗口上方列右侧即会出现其使用方式 说明，使用者依照其规范操作即可，所以原则就是先选功能，再依规则操作。代数建立 方式则为在下方输入列，直接以指令方 式输入，例如建立一个点为 「A=(3,2)」，其余对象的输入语法，可以查阅菜单中的「说明」，或先以几何 方式建立后，在其属性窗口中，查阅其定义也可以，这是比较简易的方法。对于 已经制作完成的 ggb 档，也可以在播放按钮区调整每个对象播放的顺序。

输出

制作完成的档案，将以「.ggb」的扩展名储存，此外也可以用图档、网页等 形态另外汇出。或将 ggb 文件直接内嵌于动态网页中，并在网页浏览器中直接操作。 另外 GeoGebra 也支持 LATEX 数学式标示语言。

6 GeoGebra 使用入门 基础操作

1. 新点、交点、中心点

范例图

8 GeoGebra 使用入门 各编辑区方法列表

方法 几何建立 物件 新点 点选「新点」，再以鼠标点出位 置。 代数建立范例 A=(3,2) 交点 点选「交点」，再以鼠标点出两 个A=Intersect[a, 对象后建立。 b] 直线 a、b 的交 点选「中心点」，再以鼠标点出 两C=Midpoint[A, 个点后建立，或点出一线段。 中心点 B] 点 A、B 之中点。 C=Midpoint[s] 线

辅助说明

以几何操作方式建立新点，仅需先选择工具按钮中的「新点」，然后直接在 几何显示作图区中之适当位置按下鼠标左键，即完成新点建立。若以代数式建立， 则使用一般在平面坐标上点的表示法，键入 A=（3,2）这样的指令，即完成一个名 为 A 且坐标为（3,2）的点。 以几何操作方式建立交点的方式比较多元，凡是两对

象间有交点者，皆可以

在选择「交点」功能按钮后，连续点选出二个对象来完成操作。而若以代数式建 立，原则是以 A=Intersect[对象1,对象2]，这样的指令来完成。而其中的对象1、 对象2，可以是直线、圆锥曲线、函数等对象。而有些交点会出现二个，系统会分 别以1、2在下标标示表示之，例如两个相割圆的交点有二个，则上述指令会产生 两点 A1、A2。

以几何操作方式建立中点，需先选择工具按钮中的「中心点」后，再点选两

点或一线段对象，即完成中心点建立。代数式则以 M=midpoint[ 点 , 点 ] 或 M=midpoint[线段s] 这样的指令来建立。

GeoGebra 使用入门 9 2. 直线、线段、向量

范例图

10 GeoGebra 使用入门 各编辑区方法列表

方法 几何建立 物件 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 直线 点选「直线」，以鼠标点出两点 后L=line[A,B] 建立。 点选「线段」，以鼠标点出两点 后线段 建立，或点出起点，再指定长 度。 a=segment[A,B] 点选「射线」，以鼠标点出两点。 b=Ray[A,B] 起点 A 通过 B 点的射线。 射线 c=Ray[A,v] 起点 A 且方向为 v 向量方向射线。 点选「向量」，以鼠标点出已知 两u=Vector[E,F] 点，或一点及一向量。 向量 从点 E 到点 F 的向量。 a=Vector[A] 点 A 的位置向量(原点到 A 点的向量)

辅助说明

以几何操作方式建立直线，仅需先选择工具按钮中的「直线(过两点)」按钮， 然后直接在几何显示作图区中之两个适当位置，分别按下鼠标左键，即完成二个 新点及过此二点之直线。或可以鼠标选取二个已知点后，建立通过此二点之直线。 而若以代数式建立，则键入 L=Line[点对象1,点对象2] 这样的指令，即完成一个 名为 L 且通过此二点对象之直线。

GeoGebra 使用入门 11

以几何操作方式建立线段，需先选择工具按钮中的「线段(过两点)」按钮， 其余程序与直线之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以两个点对象为端点 之线段。

以几何操作方式建立射线，需先选择工具按钮中的「射线(过两点)」按钮， 其

余与直线之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以点对象 1 为起点，指向 点对象 2 之射线。或者可以选择一个点对象与一个向量对象，建立出射线对象。 以几何操作方式建立向量，需先选择工具按钮中的「向量(过两点)」按钮， 其余与直线

之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以点对象 1 为起点，指向

点物件 2 之向量。或者可以只选择一个点对象来建立出该点对象之位置向量。

12 GeoGebra 使用入门 3. 垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹

垂直线、并行线～范例图

GeoGebra 使用入门 13 各编辑区方法列表

方法 几何建立 物件 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） L=Perpendicular[C,a] 点选「垂直线」，以鼠标点出已 知一点及一直线或是一向量后建 垂直线 立。 通过点 C 且垂直于 a 的直线。 L=Perpendicular[C,u] 通过点 C 且垂直于向量 u 的直线。 并行线

点选「并行线」，以鼠标点出已 知L=line[C,a] 一点及一已知直线后建立。 通过 C 点且平行于 a 直线的直线。 辅助说明

以几何操作方式建立垂直线，需先选择工具按钮中的「垂直线」按钮，然后 在几何显示作图区中，点选一直线及一点后，则建立通过此点且垂直于该直线之 垂线。或可点选一直线及一向量后，则建立通过此点且垂直于该向量之垂线。而 若以代数式建立，则键入 L=Perpendicular[C,u]， C 为点对象， u 为直线对象向 量对象，这样的指令，即完成一个名为 L 且通过 C 且垂直于u直线或向量对象之垂 线。

以几何操作方式建立并行线，需先选择工具按钮中的「并行线」按钮，然后 在几何显示作图区中，点选一直线及一点，建立通过此点且平行于该直线之平行 线。而若以代数式建立，则键入 L= Line[点对象,直线对象]这样的指令，即完成 一个名为 L 且通过此点且平行于该直线之并行线。

14 GeoGebra 使用入门 中垂线、角平分线～范例图

各编辑区方法列表

方法 几何建立 物件 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 点选「中垂线」，以鼠标点出已知 两L=LineBisector[A,B] 点，或一已知线段。 中垂线 线段 AB 的中垂线 L=LineBisector[s] s 线段的中垂线 点选「角平分线」，以鼠标点出已 知角平分线 三点，或二直线。注意在点的选 取顺序，是以有向角的观念，以逆 时针方向顺序选取之。 L=AngularBisector[A,B,C] 以 B 为顶点的角 ABC 的角平分线 L=AngularBisector[g,h] 直线 g 和 h 的角平分线 GeoGebra 使用入门 15

辅助说明

以几何操作方式建立中垂线，需先选择工具按钮中的「中垂线」按钮，然后 在几何显示作图区中，以鼠标点出已知两点，或一已知线段后，则建立通过此二 点之线段之中垂线，或已知线段之中垂线。而若以代数式建立，则键 入 L=LineBisector[点对象1,点对象2] 或 L=LineBisector[线段对象] 这样的指令， 即完成一个名为 L 且通过此二点或该线段之中垂线。

以几何操作方式建立角平分线，需先选择工具按钮中的「角平分线」按钮， 然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知三点，或二直线。注意在点的选取顺 序，是以有向角的观念，以逆时针方向顺序选取之后，则建立此三点所构成角之 角平分线，或二直线所构成角之角平分线。而若以代数式建立，则键 入 L=AngularBisector[点对象1,点对象2,点对象3] 这样的指令，即完成一个名为 L且通过以此三点所构成角且以点物件2为顶 点之角平分线。或 键 入

L=AngularBisector[直线1,直线2] 这样的指令，即完成一个名为 L 且以二直线为 边之角平分线。

16 GeoGebra 使用入门 切线、轨迹～范例图

各编辑区方法列表

方法 几何建立 物件 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 点选「切线」，以鼠标点出一点 及f(x) 在点 A 时的切线 ，其中点 A 的 x 坐标 一已知函数。(函数做法见进阶 操注意 f 为一函数作范例，或参看右方代数式说 明) 值当然必须为 f 函数之定义域中的 切线 元素。例如，可透过下列代数式建立 一函数，及此函数上某一点之切线。 f(x)=3x^2+1 A=point[f]

GeoGebra 使用入门 17 L=tangent[A,f] 点选「轨迹」，以鼠标点出一已 知L_1=Locus[B,A] 依据在某对象上之点，及其相关点各一。这个功 能一点 A 所控制的 点 B 的轨迹线。 在表面上，就是点选两个点。 但注意 B 应定义为 A 的相关表达式，且 是要注意的是这二个点的关系 为A 应为某对象上的一点。 何，可详参右方的代数式说明。 例如，可透过下列一连串代数式，定 义出在 A 所在对象上方 3 单位的轨迹 图形。 轨迹 f(x)=3x^2+1 A=point[f] B=A+(0,3) L_1=locus[B,A] 即可做出 L_1 为 f 向上平移 3 单位的 拋物线图形。

辅助说明

以几何操作方式建立切线，需先选择工具按钮中的「切线」按钮，然后在几 何

显示作图区中，以鼠标点出一点及一已知函数(函数做法见进阶操作范例，或参 看以下说明)。注意 f 为一函数，其中点 A 的 x 坐标值当然必须为 f 函数之定义域 中的

元素。例如，可透过下列代数式建立一函 数，及在其上某一点之切线： f(x)=3x^2+1、 A=point[f] 、 L=tangent[A,f] 。则建立出函数 f 在点 A 之切线 L。 以几何操作方式建立轨迹，需先选择工具按钮中的「轨迹」按钮，然后在几 何显示作图区中，以鼠标点出一已知点，及其相关点各一。这个功能在表面上， 就是点选

两个点，但是要注意的是这二个点的 关系为何。在代数式中下指令

L_1=Locus[B,A]，意指依据在某对象上之一点 A 所控制的点 B 的轨迹线。注意 B 应定义为 A 的相关表达式，且 A 应为某对象上的一点。例如，可透过下列一连串

18 GeoGebra 使用入门 代数式，定义在 A 所在对象上方 3 单位的轨迹图形， f(x)=3x^2+1、 A=point[f]、

B=A+(0,3)、 L_1=locus[B,A]，可做出 L_1为 f 向上平移 3 单位的拋物线图形（注： 像 L_1 这样的标记，底线后的第一个字符为下标）。

4. 多边形、正多边形

GeoGebra 使用入门 19 范例图

各编辑区方法列表

方法 几何建立 物件 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 点选「多边形」，以鼠标点出若 干Poly1=Polygon[A,B,C,...] 由给定多边形 点后建立。 点 A、B、C 所围成的多边形

20 GeoGebra 使用入门 点选「正多边形」，以鼠标点出 Poly1=Polygon[A,B,n],n≧3 两点及输入一数值 n 后建立。 包括点 A、B 的正 n 边形，注意用正多边形 此 方法建立时，若 n 值本身又是由一滑 杆，或其它对象控制之值，则各边及 顶点是以动态出现的现象呈现。

辅助说明

以几何操作方式建立多边形，需先选择工具按钮中的「多边形」或「正多边 形」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知或实时新建的若干点，最 后再点选回第一个点之后建立。或点选「正多边形」，以鼠标点出已知两点及输 入一数值 n 后建立。注意此动作其实只是建立了此多边形之各顶点，然后顺便建 立了依附在这些点上的边及整个多边形的物件。

5. 圆形、扇形、圆弧

GeoGebra 使用入门 21 圆形～范例图

各编辑区方法列表

方法 几何建立 物件 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） c=Circle[M,r] 点选「圆(…)」，以鼠标点出已 知二点、或已知一点及输入一数 值 圆心 M 且半径为 r 的圆。 c=Circle[M,s] 为半径、或点出已知三点后建 立。 圆 圆心 M 且半径为 s 的长度的圆，其中 s 为一已知线段。 c=Circle[M,A] 圆心 M 通过点 A 的圆。 c=Circle[A,B,C] 通过三点 A、B、C 的圆。 22 GeoGebra 使用入门

辅助说明

以几何操作方式建立圆，需先选择工具按钮中的「圆(…)」按钮，然后在几 何显示作图区中，以鼠标点出已知二点或实时新建的二点，或是点出已知三点及 或实时新建的三点，或是点出已知一点及输入一数值为半径，皆可建立一圆。相 关的代数式为输入 c=Circle[M,r]，则可建立圆心 M 且半径为 r 的圆，其中 r 为一 已知数值。c=Circle[M,s]，可建立圆心 M 且半径为 s 的长度的圆，其中 s 为一已 知线段。c=Circle[M,A]，可建立圆心 M 且通过点 A 的圆。c=Circle[A,B,C]，则 是可建立通过三点 A、B、C 的圆。

扇形、圆弧～范例图

GeoGebra 使用入门 23 各编辑区方法列表

点选「扇形(…)」，以鼠标点出 三扇形 点(第一点为圆心)后建立，或 任意三点来建立一通过此三点的 扇形。 c=CircularSector[M,A,B] 圆心为 M，起点为 A、终点为 B 的扇 形，注意 A、B 两点点选的顺序，是 采用逆时针方向的有向角观念。 c=CircularArc[M,A,B] 圆心为 M，起点为 A、终点为 B 的圆 弧，注意 A、B 两点点选的顺序，是 采用逆时针方向的有向角观念。 c=CircumcircularArc[A,B,C] 依序通过 A、B、C 三点的圆弧。 点选「圆弧(…)」，以鼠标点出 三点(第一点为圆心)后建立，或 任意三点来建立一通过此三点的 弧 弧。

辅助说明

以几何操作方式建立扇形，需先选择工具按钮中的「扇形(…)」按钮，然后 在几何显示作图区中，以鼠标点出已知一点为圆心及圆上两个已知点或新建二 点，又或者是直接点出任意三点，皆可以建立 一扇形。相关的代数式输入为 c=CircularSector[M,A,B]，可建立圆心为 M ，起点为 A ，终点为 B 的扇形，注意 A、B 两点点选的顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。

弧的建立与扇形的建立方式大致相同，唯需注意通过三点 A、B、C 的圆弧， 三点的点选顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。

24 GeoGebra 使用入门

6. 角、斜率

GeoGebra 使用入门 25 范例图

各编辑区方法列表

方法 几何建立 物件 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 点选「测量角度」，以鼠标点出已 知α=Angle[A,B,C] 三点后建立。 角 以 B 为顶点，线段 BA 和线段 BC 为两 边的夹角，注意 A、C 二点的点选顺 序，是采用逆时针方向的有向角观 念。 斜率 点选「斜率」，以鼠标点出已知直 GeoGebra 使用入门 m=slope[L]

26 线后建立。 已知直线 L 之斜率。 而斜率，其虽然为一数值，但在 几何区中会以一小直角三角形呈 现其意像。

辅助说明

以几何操作方式建立角，需先选择工具按钮中的「测量角度」按钮，虽然其 功能名为测量角度，但其为建立一角对象。然后在几何显示作图区中，以鼠标点 出已知一点或新建一点 A 为起始点，及一已知点或新建点 B 为顶点，再点出已知 一点或新建一点 C 为末端点，则可建立一角对象。注意通过 A,B,C 三点的角，三

点的点选顺序，是采用 逆时针方向 的有向角观念。相关的代数式输入为

c=Angle[A,B,C]，可建立起始点为 A，末端点为 C，顶点为 B 的角。 以几何操作方

式计算斜率，需先选择工具按钮中的「斜率」按钮，以鼠标点

出已知直线后建立。而斜率其虽然为一数值，但在几何区中会以一小直角三角形 呈现其意像。若以代数式建立，则键入 m=slope[L] ，因其为一数值，终究不是一 个图形，所以通常斜率数值在几何区中建议隐藏其图示。

7. 对称、平移、旋转

GeoGebra 使用入门 27 范例图～对称

各编辑区方法列表

方法 几何建立 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 物件 点选「点对称」，以鼠标点出已知 一C=Mirror[A,B] 点、或已知直线或已知多边 形，及以 B 为对称点，做出点 A 的对应点 其对称点后建立出该已知 点、直线C L=Mirror[g,B] 点对称 或多边形的点对称图形。 以 B 为对称中心，作直线 g 之线对称 图形 L P=Mirror[p,B] 以 B 为对称中心，将多边形 p 作对称。 线对称

同上，但对称中心改为直线。 同上，但对称中心改为对称轴。

28 GeoGebra 使用入门 辅助说明

以几何操作方式建立对称对象，需先选择工具按钮中的「线对称」或「点对 称」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知点或已知直线或已知多边 形，及其对称轴(点)后建立出该已知点、直线或多边形的线(点)对称图形。相关 的代数式输入为，对称对象名称 A'=Mirror[原对象A ,线对象或点对象]，可建立 以线对象或点对象为对称中心，相对于原对象的新对称对象。

平移～范例图

GeoGebra 使用入门 29 各编辑区方法列表

方法 几何建立 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 物件 点选「平移」，以鼠标点出已知物 A'= Translate[A,v] 件，如点、线、多边形等及一向 量以向量 v 平移点 后建立。 平移 A a'= Translate[a,v] 以向量 v 平移直线 a poly'= Translate[poly,v]

以向量 v 平移多边形 poly 辅助说明

以几何操作方式建立平移对象，需先选择工具按钮中的「平移」按钮，然后 在几何显示作图区中，以鼠标点出已知点或已知直线或已知多边形，及其平移向 量后，建立出该已知点、直线或多边形的平移图形。相关的代数式输入为平移后 对象名称 A'= Translate [原对象A,向量v]，可建立将原对象以向量 v 为基准，所 建立的新平移后对象。

30 GeoGebra 使用入门

旋转～范例图

GeoGebra 使用入门 31 各编辑区方法列表

方法 几何建立 物件 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 点选「旋转」，以鼠标点出已知 对A'= rotate[A,φ,B] 象如点、线、多边形等，再 点以 B 为旋转中心，将 A 旋转角度 选一旋转中心，并输入角度 建φ a'= rotate[a,φ,B] 旋转 立旋转后的对象。 以 B 为旋转中心，将线段 a 旋转角度 φ poly'= rotate[poly,φ,B] 以 B 为旋转中心，将多边形 poly 旋转角 度 φ

辅助说明

以几何操作方式建立旋转对象，需先选择工具按钮中的「旋转」按钮，然后 在几何显示作图区中，以鼠标点出已知点或已知直线或已知多边形，及其旋转中 心点，再输入一旋转角度后，建立出该已知点、直线或多边形之旋转后的图形。 相关的代数式输入为，旋转后对象名称 A'= rotate [原对象A,旋转角度φ,旋转中 心点 B ]，可建立将原对象以旋转中心点 B 为基准，旋转φ角度后，所建立之新的 旋转后对象。注意其旋转角度是以逆时针有向角度量的。

32 GeoGebra 使用入门

8. 数值滑杆、文字

GeoGebra 使用入门 33 范例图

各编辑区方法列表

方法 对象 几何建立 代数建立范例 点选「数值滑杆」，设 定无法由代数式建立。 数值滑杆 起始值、终值及增 量后建立。 点选「插入文字」，输 入点选「插入文字」后会出现一文字编辑视 窗，文字后建立。 文字 在其中可运用各式的代数对象，及以 类程序语法组成一文字字符串，并可选择是 否搭配 Latex 表示式来呈现。有关 Latex 表示式可参阅教学网页。网址为 http://edt1023.sayya.org/tex/latex123/latex123.html

34 GeoGebra 使用入门 输入 \第一句，这是静态文字\ \第二句，参用 A 点坐标 = \ + A 可能的输出结果 这是静态文字 A 点坐标= (3.05, 2.54 ) \第三句，参用线段 a = \ + a + \ 线段 a = 5.87 cm cm \ 1. 若全句皆没有双引号，则全句以纯字符串视之。 2. 与双引号一起运用时，可加入如 if[expression,\文字A\文字B\，

这样的式子，增加其动态显示的效果，且字符串的连接以加号串接之。 3. 在文字输入窗口中，要使用 Latex 表示式，要点选 Latex 勾选框。 GeoGebra 使用入门 35 辅助说明

以几何操作方式建立数值滑杆对象，需先选择工具按钮中的「数值滑杆」按 钮，然后在几何显示作图区中任意位置点击后，会出现一数值滑杆设定窗口，其 中要填入者，有起始值、终值、增量及数值角度选择钮。其余属性如大小颜色等， 可随个人喜好设定，填妥后按确定，即建立一数值滑杆对象。此对象目前无法由 代数式建立。注意数值滑杆内之起始值、终值、增量等，皆无法以变量设定，须 以明确的数字设定之。这通常是给使用者控制各项数值大小的工具，以便能做出 各种动态呈现的图形。

以几何操作方式建立文字对象，需先选择工具按钮中的「文字」按钮，然后 在几何显示作图区中任意位置点击后，会出现一文字编辑窗口，在其中可运用各 式的代数式对象，及类程序语法组成一文字字符串，并可选择是否搭配 Latex 表示 式来呈现(有关 Latex 表示式请参阅相关教学网页)。注意，若全句皆没有双引号， 则视为纯字符串。若与双引号一起运用时，可加入如 if[expression,\文字A\

\文字B\，这样的式子，增加其动态显示的效果，且字符串的连接须以加号串接。 在文字输入窗口中，要使用 Latex 表示式，记得一定要点选 Latex 勾选框，系统 才会将字符串转译成正确的数学式，以增加可读性，这对阅读者来说，是一个很方 便的界面。

36 GeoGebra 使用入门 9. 对象的属性设定

对于任何一个对象，都有其相对应的属性。这些属性大致包含有以下四类： 1. 一般：

包含对象名称、对象的代数式定义、显示与否、名称或数值的显示方式、 是否设定为辅助对象等。其中名称、代数式定义这二项在造出对象时，大概 就已经被使用者所指定好。例如圆 c=circle(A,2)，其中 c 就是这个圆的名称， circle(A,2)是这个圆 c 的定义。其余关于显示与否、名称或数值的显示方式、 是否设定为辅助对象等，则可随使用者设定勾选。(如下图一)

2. 颜色：顾名思义，此即为对象颜色的设定。(如下图二) 3. 样式：包含线宽等级及填色的比例设定。(如下图三) 4. 进阶：

通常是伴随一个布尔变量或布尔表达式，去设定此对象要显示与否的条 件，若此条件被设定，则在前面一般设定中显示对象与否的勾选框便自动失 效。另外有随着不同对象会出现的不同属性，如代数式显示方式、数值滑杆 设定、文字字号等，使用者可逐一实验。(如下图四)

图一

图二

图三

图四

GeoGebra 使用入门 37 进阶操作范例

1. 直线方程式、函数

有些对象，无法由几何编辑接口建立，这时以代数式直接在 GeoGebra 下方输 入列中建立，是一个很方便的方法。例如指定系数的直线方程式、或一些自订函 数，如 L:2x-5y=-2，其中 L 为此直线方程式的名称，注意以冒号区隔式子。其中 系数与代数项 x 或 y 之间，须填入一空格，以代表不同的对象相乘，若没有以空 格隔开，系统会将其错认为另一代数变量对象。

函数的建立，通常遵循一般常用的表示法，例 如可在代数输入列中键入 f(x)=x^2+3x-1，其为一个二次拋物线函数，建立完成后，系统便直接将此函数在 几何区中绘出。其中「^」为次方的连接符号，例如在本例中，x^2就代表 x 的 2 次 方。

38 GeoGebra 使用入门 2. 动态文字处理、代数式定义处理：if 语法的应用

范例：四边形的种类

在文字的呈现处理中，可以搭配一些控制语法如 if 叙述，来强化其动态显示 的效果，例如在上例中，除了点 A 为唯一自由点以外，其余三个顶点分别以 z 数 值滑杆来决定四边形的长宽，用 α 角度数值滑杆来决定 A 点倾斜的角度。其定义 语法如下

B=If[z < 3.5, (x(A) + z cos(α), y(A) + z sin(α)), (x(A) + 3.5 cos(α), y(A) + 3.5 sin(α))]

表示点 B 位置为距 A 点 z 单位，且倾斜α角度的上方位置。

当 z 值小于 3.5 时，AB 长度随 z 值大小改变，若 z 值大于 3.5，则 AB 长度停留在

3.5，不随 z 值大小而改变。

C=If[z < 6, (x(B) + z, y(B)), (x(B) + 6, y(B))]

表示点 C 位置为距 B 点 z 单位的右方位置。

当 z 值小于 6 时，BC 长度随 z 值大小改变，若 z 值大于 6，则 AB 长度停留在 6， 不随 z 值大小而改变。

D=(x(A) + z, y(A))

表示 D 点在点 A 的右边 z 单位远。

GeoGebra 使用入门 39 这样的设定，可以让二个数值滑杆就变化出正方形、长方形、菱形、梯形、

平行四边形等不同的四边形类型。而在文字说明的呈现上，若搭配 if[布尔值,真 值的字符串,伪值时的字符串] 的语法，可显示出相对应的四边形类型名称。其中上图 红框中的语法为

\目前这个四边形是一个「 \ + (If[α

? 90°, If[z < 3.5, \正四边形(即正方形)

\ If[z > 6, \梯形\ \矩形(即长方形)\ If[z < 3.5, \菱形\ If[z < 6, \ 平行四边形\ \梯形\ + \」\

如此便能造出动态的文字呈现效果。

40 GeoGebra 使用入门 3. 参数曲面 (Curve)

这个范例是另一个比较简单的连续参数曲面，在上图中，我们用了二个数值 滑杆 r、t，及一个角度数值滑杆θ、分别控制这个圆的半径，及画出多少角度的 弧，t 滑杆则是为了突显参数曲面的函数性格。即当作是 L 参数区面中的定义域的 角度值，以计算出相对应的点坐标对象值，在本例中， A=L(t) ，会随 t 值变化计 算出在圆上的一个点坐标。其中红色的参数区面(圆弧)定义为：

L=Curve[r cos(t), r sin(t), t, 0, θ]

表示 L 为由半径为 r，且角度为 t 的极坐标点 (r,t) 所构成的无限点集合。 其中 t 是由 0 到 θ 的动态变量值。

此图形可随着不同的终值 θ ( 0 < θ < 2 pi ) 之变化，绘出不同大小的圆弧。

GeoGebra 使用入门 41 4. 序列物件 (Sequence)

范例 – 多边形内角和公式

序列对象，对绘制离散形集合对象，是一个好用的代数定义方法。图中以正 多边形为讲解范例，意图将正多边形内角和公式，用内部三角形切割方式拼凑出 来，图中我们用了二个数值滑杆 r、n，分别去控制这个正多边形半径的大小，及 正多边形的边数。一组控制观察角度的旋转对象、三个序列对象：n 个顶点、n 条 边、n － 3条切割线，及一组静态文字，一组动态文字，除静态文字较简单外，其 余对象之定义方法分别说明如下：

42 GeoGebra 使用入门

一、n 数值滑杆

为了方便学生观察各种多边形的内角切割情形，可定义一个名为 n 的数值滑杆，以控制多边 形边数。

二、r 数值滑杆 为了视觉效果是否清晰与观察单纯化的考虑，我们用正多边形为观察对象。定义

一个名为 r 之数值滑杆，控制这个正多边形中心到顶点的长度，亦即此正多边形外接圆的半径。

三、一组旋转控制对象

是为了要能从各种角度观察出此正多边形切割后的情形，所设计的一组对象。

3.1 一个基于圆心 B，半径为 1 的应变控制圆 c=circle[B,1]，其中 B 为一自变点对象。

3.2 一个在圆 c 上，圆心 B 的 x 坐标加一单位的观察角度基准点，应变对

象 C＝B＋(1,0)。

3.3 在圆 c 上建立一自由点 D=point[c]。虽然他被限制在圆 c 的圆周上游移，但其值并未被

限 制死，仍应视为一依附于圆 c 的自变对象。

3.4 建立一个应变角度对象 α=Angle[C,B,D]，以 B 为顶点，由基准点 C 转到 D 的有向角。

四、建立此正多边形的动态切割图

4.1 一个自变自由点对象 O，当作此正多边形的中心。

4.2 一组基于点 O、半径 r、观察角度 α，所动态产生的 n 个应变顶点对象，可用序列集合对象，

命名为 Pset，定义为 Sequence[O+(rcos(α+(i-1)360°/n),r sin(α+(i-1)360°/n)),i,1,n] 由于这部分比较复杂，说明如下：

我们希望建立的 n 数值滑杆在变动时，顶点数及相关位置也会跟着变动。例如当 n 变

成 5，则图形就出现正五边形的五个顶点，可以让我们藉此做出正五边形及切割线。而这五 个顶点我们将它视为一个对象。如此设计，使得不管 n 值滑到多少，这 n 个顶点都只算是 一个

对象，这样就可以很方便的控制它。而要达成这个目的， 可以使用 sequence。它包含 4 或 5 个参数，一是对象代数式 定义，二是变动指标，三是起始值，四是终值，五是增量，若 是第五个参数没写，则内定为 1。

GeoGebra 使用入门 43 例如：sequence[(i,i+1),i,1,5]，这个指令可以造出一个包含 5 个点的集合对象

｛(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)｝，如上页图中的点。若将第一个参数改成线段对象，则会 造出一个包含 5 条线段的集合，指令可改成 sequence[segment[(i,i),(i,i+1)],i,1,5]， 如上页图中的线段。

在本文中，第一个参数是点的代数定义式，其中 x 坐标为 rcos(α+(i-1)360°/n)，

y

坐标为 r sin(α+(i-1)360°/n)。将这二个式子用小括号包起来，则形成一个点。再加上原

点 O，表示以 O 为圆心，r 为半径，α 为起始的有向角度，依序每隔 360°/n，在这个没显 示出来的圆上，所画出的 n 个顶点。

4.3 切割线顶点 A＝Element[Pset,1]，表示 Pset 集合对象中的第一个元素。Element 是撷取

sequence 集合对象中某个元素的指令。

4.4 正多边形的各边对象命名为 slideset，定义如下：

Sequence[Segment[Element[Pset,Mod[i-1,n]+1],Element[Pset,Mod[i,n]+1]],i,1,n]， 表示依 Pset 集合对象中的点元素顺序，所依序画出正多边形的 n 个边。其中 Mod[i,n]， 表示 i 除以 n 之后的余数。这样可以让我回抓一整圈的顶点，以便造出所有的边。 4.5 基于切割顶点 A 的切割线，命名为 Crosslide 的对象，定义如下：

Sequence[Segment[A, Element[Pset,i+2]],i,1,n-3]，表示以 A 为顶点，依序画出 n-3 条 从

A 点到除了自己及其相邻顶点之外的各顶点联机段之切割线集合对象。

五、动态说明文字

由于参用到 n 数值滑杆，所以此段说明文字，也属于应变对象。

其中的 + 号，是代表将前后字符串，串在一起的连接指令。呈现如下：

\以 A 为顶点，连到除自己及相邻两顶点以外的\ +(n - 3)+ \个顶点\

+ \将此多边形切成\ +(n - 2)+ \个三角形\ + \可得此正\

+ n + \边形内角和为 180°×(n – 2)=\ +180+ \×\ +(n - 2)+ \ +(180(n - 2))+ \ ° \

六、对象属性

以能明显观察为准则，调整各对象属性，如显示与否、颜色、大小等，以利观察与操作。

44 GeoGebra 使用入门

5. 自订工具列管理

当使用者设计了一个对象时，一般来说，可将此对象的成份，分析归类成自 变对象及应变对象，以及一些中间过程参用到的辅助对象，这些辅助对象其本质 也大概都是应变对象。若此时使用者认为设计出的对象具有常用的价值，就可以 将他包装成一个新工具。尔后再次使用到时，就会非常方便，不用再重新设计。 本单元以绘制等腰直角三角形为例说明之。

首先还是依照一般方式将等腰直 角三角形先造出来，其代数定义式程序 如下：

1. A=(2,3)

2. k=5

3. B=A+(k,0)

4. C=B+(0,k)

5. poly_1=Polygon[A,B,C]

图(一)

此时会在几何区造出一个等腰直角三角形，也会同时造出此三角形三边所成 的三条线段 a、b、c。仔细分析此三角形，可看出真正的自变对象为点 A、数值 k。 而最后造出的对象为三角形 poly_1，其余中间过程的应变对象有点 B、C，三角形 的三边 a、b、c 也可视为是中间过程的应变对象。接下来可点选菜单列的「工 具」，「新工具」后，出现新工具编辑窗口如图(一)。

GeoGebra 使用入门 45 此时需要设定三个部分，说明如下：

1. 输出对象：在下拉式选单中选取「三 角

形 poly1:多边形A,B,C」

2. 点选输入对象，会自动出现此三角

形所对应的输入对象，即其自变物 件，如图(二)，此时选取点Ａ，并 将之往上移，以控制新工具自变物 件的输入顺序。

图(二)

3. 在名称与图标的卷标页中，须设定

工具名称，指令名称，与工具说明 三项。其中工具名称为显示在功能 表列上的文字，指令名称则为代数 式的定义字符，工具说明则与工具 名称一起出现在菜单列上，是一 个提示使用者如何操作的功能说

明，如图(三)。

图(三)

以上三部份皆设定完成后，按下完成，则在功能按钮列的最右一格会出现此 等腰三角形的功能钮。使用者可以按此方式在一个档案中，造出多个工具。之后 也可以在菜单列中的「工具」、「工具管理」中编辑各自订工具的名称指令与 说明。

接下来便可以一般几何方式，或代数 方式直接运用此工具。例如输入 DDR=S1[G,5]，则会造出一名为 DDR，且以点 G 为左下角顶点，腰长为 5 的等腰直 角三角形。

注意：以此方法所造出的工具，只能随原档案一同存盘，若想在别的 GeoGebra 档案中使用此工具，必须将原檔另存成附檔名为 ggt 的档案，然后在想参用此工 具的 ggb 档中开启此 ggt 档，这个开档动作并不会影响此 ggb 档的内容，但是会 在功能按钮中出现汇入的新工具按钮。

46 GeoGebra 使用入门 附录：以代数式建立对象之指令速查表

类别 数值 物件 数 自由点 交点 代数式范例 a=5 A=(3,2) A=Intersect[a, b] C=Midpoint[A, B] C=Midpoint[s] L=line[A,B] a=segment[A,B] a=Ray[A,B] u=Vector[A,B] u=Vector[A] a=Ray[A, u] Perpendicular[C,a] Perpendicular[C,u] L=line[C,a] L=LineBisector[A,B] L=LineBisector[s] L=AngularBisector[A,B,C] L=AngularBisector[a,b] f(x) = 3 x^2+1 A=point[f] L=tangent[A,f] poly1=Polygon[A,B,C,D,E] poly1=Polygon[A,B,n],n≧3 c=Circle[M,r] c=Circle[M,s] 简易说明 指定 a 变数值为 5 在坐标平面上建立点 A(3,2) 直线 a、b 的交点 A 点 A、B 之中点 C 线段 s 之中点 C 通过 A、B 两点的直线 通过 A、B 两点的线段 从点 A 通过点 B 的射线 a 从点 A 通过点 B 的向量 u 从原点通过点 A 的向量 u 从点 A 且方向为向量 u 的射线 a通过点 C 且垂直于线 a 的直线 通过点 C 且垂直于向量 u 的直 C 点且平行于线 a 的直线 线通过点 A、B 间的中垂线 线段 s 的中垂线 以 B 为顶点之角 ABC 角平分线 直线 a 和 b 的角平分线 函数 f(x) 函数 f(x) 上一点 A 函数 f(x) 在点 A 的切线 由给定点 A,B,C,D,E 所围成的多 A,B 为边长的正 n 边形 边形以线段以点 M 为圆心，数值 r 为半径的 M 为圆心，线段 s 的长度圆以点为 半径的圆以点 M 为圆心，M 点到 A 点长度 为半径的圆 通过三点 A、B、C 的圆 GeoGebra 使用入门 47 点 中点 直线 线段 射线 向量 射线 垂直线 线 并行线 中垂线 角平分线 切线 面 多边形 正多边形 圆 圆 c=Circle[M,A] c=Circle[A, B, C]

类别 物件 代数式范例 c=CircularSector[M,A,B] 简易说明 圆心为点 M，起点为 A，终点为 B 的扇形，注意 A、B 两点点选的顺 序，是采用逆时针方向的有向角 观念。 扇形 c= CircularSector[A,B,C] 圆 圆心为 A，起点为 B，终点为 C 的 扇形，且 C 点不必需在扇形上 圆心为点 M，起点为 A，终点为 B 的圆弧，注意 A、B 两点点选的顺 序，是采用逆时针方向的有向角 观念。 c=CircularArc[M,A,B] 弧 c=CircumcircularArc[A,B,C] 通过三点 A、B、C 的弧 方程 直线方程式 L:2 x - y=2 式 建立名为 L 之直线方程式，注意 以冒号区隔式子 建立名为 f 之一次函数 建立名为 f 之二次函数 利用内建三角函数建立名为 f 之 函数建立名为 SET 集合，内含五个数 值形态的元素 撷 取 SET 集 合 物 件 之 第 三 个 元 素，在本例中即为 a=8 建立名为 Pset 之集合对象，元素包含{2,4,6,8,10}，即变数 n 由 1 到 5，依序代入 2n 这个表达式所 求出之值所成的集合 建立名为 Pset 之集合对象，元素 包含{4,6,8}，即变量 n 由 a 到 b， 依序代入 2n 这个表达式所求出之 值所成的集合 建立出点(2cos(0),2 sin(0)) ，到 点 (2cos(3),2 sin(3))的所有 点集合，并以 c(1)= (2cos(1),2 sin(1))这个点的函数形态应用 一次函数 函数 二次函数 f(x)=2x-2 f(x)=2x^2-2 f(x)=sin(x)+cos(x) SET={2,5,8,3,4} 复合型态 集合 集合 集合元素 a=Element[SET,3] 撷取 Pset=sequence[2n,n,1,5] 离散型集合 对象范例 1 序列 a=2 离散型集合 b=4 对象范例 2 Pset=sequence[2n,n,a,b] r=2 c=Curve[r cos(t), r sin(t), t,0,2] 参数 参数式无序 曲面 性点集合

48 GeoGebra 使用入门 类别 物件 对称点 代数式范例 C=Mirror[A,B] L=Mirror[g,B] 简易说明 以点 B 为对称中心，做出点 A 的 对应点 C为对称中心，作直线以点 B g 之 点对称直线 L 以点 B 为对称中心，作多边形 p 之点对称多边形 q 以直线 a 为对称轴，做出点 A 的 为对称轴，作直线 g 对应点以直线 Ca之 线对称直线 为对称轴，作多边形L 以直线 a p 之线对称多边形 q b 的布尔变建立一名为 a 及量， 且指定其值为真及假 将 s 设为数值 3，a 设为数值 5，再判断 a 是否等于 s，再把结果传 回 e，本例中，结果为 e=false 双引号内的字符串即为 T 的值，在 此情形下，也可省略双引号 一段双引号再加上一段判断式，对称线 对称多边形 q=Mirror[p,B] 对称点 对称线 C=Mirror[A,a] L=Mirror[g,a] 几何 转换 对称多边形 q=Mirror[p,a] a=true b=false s=3 a=5 e=(a==s) T= \一串你想显示在几何区的 的真假字符串T= \看 \a，再决定要显示 布 布尔变数 林 值 静态文字 文字 动态文字 真或假，结果是\ 为真 此时双引号不可省略 \ 为假\ 结果为: T=看 a 的真假，再决定要显示真 或假，结果是 a 为真 T=\看 a 的真假，再决定要显示 结果为： 3 或是 5，结果为\ T=看 a 的真假，再决定要显示 3 或是 5，结果为 3

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