v1.0 可编辑可修改 0422222222＝＝ [sint(?sint)?cost(cost)]dt(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz???32AB由对称性即得

?(yL2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz?3?(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz?4AB ＃ 7．

??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy，其中?为平面x?y?z?1,x?0,?y?0,

z?0所围立体的表面的外侧。

解：记?1为该表面在XOY平面内的部分，?2为该表面在YOZ平面内的部分，

?3为该表面在XOZ平面内的部分，?4为该表面在平面x?y?z?1内的部分。 ?1的方程为z?0,0?y?1?x,0?x?1，根据定向，我们有

??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy＝??(z?1)dxdy＝??1?10?x?10?y?1?x??1dxdy??

2同理，

1 (x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy????2?21 (x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy????2?3?4的方程为z?1?x?y,0?y?1?x,0?x?1，故

??(z?1)dxdy??40?x?10?y?1?x??(2?x?y)dxdy?2， 3由对称性可得

??(x?1)dydz??4??(y?1)dzdx??42， 3故

??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy?2

?411?3? ＃ 22x?y8．计算曲面积分：??(x?y?z)dydz?[2y?sin(z?x)]dzdx?(3z?e)dxdy，其中

于是所求积分为2?S?S?为曲面x?y?z?1的外侧。

5- 5 -

v1.0 可编辑可修改 解：利用高斯公式，所求积分等于

u?v?w?1???(1?2?3)dxdydz=6811=8 ＃ 329. 计算I=??xydydz?yzdzdx?xzdxdy，其中S为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立

s体的表面外侧

解：设V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体 由Gass公式得:

I=???(x?y?z)dxdydz

V =?dx? =

10．计算I=

101?x1?x?ydy?(x?y?z)dz 001 ＃ 8??x3dx?3zy2dy?x2ydz,其中?是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)

的直线段AB 解：直线段AB的方程是

xyz??；化为参数方程得： 321 x=3t, y=2t, z=t, t从1变到0， 所以：

I= ＝

???0x3dx?3zy2dy?x2ydz

[(3t)?3?3t(2t)?2?(3t)?2t]dt＝87?t3dt??13220187 ＃ 4?11. 计算曲线积分I=

?AMO(e?xsiny?2y)dx?(ecosy?2)dy, 其中AMO是由点

xA(a,0)至点O(0, 0) 的上半圆周x2?y2?ax

解：在x轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA 在线段OA上, ?从而?AMO??OA?(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy?0

OA???AMO????AMOA?

又由Green公式得:

6- 6 -

v1.0 可编辑可修改 ?AMOA(exsiny?2y)dx?(ecosy?2)dy?xx2?y2?axL??2dxdy??a24 ＃

33312. 计算曲线积分?zdx?xdy?ydz其中L是z=2(x2?y2)与z=3?x2?y2 的交

线沿着曲线的正向看是逆时针方向 解：将L写成参数方程:

x=cost, y=sint, z=2 t: 0?2? 于是: ?zdx?xdy?ydz=?L33332?2??8sintdt??cos4tdt =? 004 另证：由斯托克斯公式得

?Lz3dx?x3dy?y3dz=??(3y2?0)dydz?(3z2?0)dxdz?(3x2?0)dxdy

??:z?2,x2?y2?1上侧，则：

?Lzdx?xdy?ydz?3333332xdxdy?3d?rcos?dr?? ＃ ????004x2?y2?122?113. 设曲面S为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S的面积I 解：S在xoy平面的投影区域为：Dxy?(x,y)0?y?1?x,0?x?1

I=

????dS=??3dxdy＝?dx?SDxy011?x03dy＝?103(1?x)dx?3 ＃ 214. 计算曲线积分?L(x?y)dx?(x?y)dyx2?y2其中L是沿着圆(x?1)2?(y?1)2?1 从点

A(0,1)到点B(2, 1)的上半单位圆弧 解：设P(x,y)?x?yx?y22， Q(x,y)?x?yx?y22

?P?Qy2?x2?2xy??当x?y?0时，

222?y?x(x?y)22故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关 则：?L(x?y)dx?(x?y)dyx?y22=?AB?(x?y)dx?(x?y)dyx?y22

7- 7 -

v1.0 可编辑可修改 =?(15. 确定?的值，使曲线积分

20x?1x2?12)dx =

1ln5-arctan2 ＃ 2C??x?4xy??dx??6x??1y2?2y?dy在XoY平面上与路径无

关。当起点为?0,0?，终点为?3,1?时，求此曲线积分的值。 解：由已知，P?x?4xy,Q?6x由条件得

2???1y2?2y；

?P?Q? , 即 4?xy??1?6???1?x??2,??3, ?y?x2????x0,0?3,1??1??4xy3?dx??6x2y2?2y?dy??x3?y2?2x2y3??3?222?3,1??0,0??26 ＃ 1dS z16. 设曲面S为球面x?y?z?4被平面z=1截出的顶部，计算I=

??S解：S的方程为：z?4?x2?y2

S在xoy平面的投影区域为：Dxy?(x,y)x2?y2?3

I=

??Dxy??4?x22?ydxdy＝?d??202?302rdr ＝4?ln2 ＃ 24?r17. 计算I=??yzdydz?xzdzdx?(x?y?z)dxdy，其中?是x2?y2?(z?a)2?a2，

?0?z?a，取下侧

解：作辅助曲面?1: z=a，(x2?y2?a2)取上侧

2222设?为x?y?(z?a)?a,z?a所围闭区域

Dxy为平面区域x2?y2?a2

I?(???1?????)yzdydz?xzdxdz?(x?y?z)dxdy

?1=

???dxdydz??Dxy??(x?y?a)dxdy=

23?a?a??dxdy (??(x?y)dxdy?0) 3DxyDxy=??a ＃

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