近世代数习题解答 第二章 56

G / N＝NK / N， K / N∩K＝K / {e}＝K，

根据书中定理4有

NK / N ? K / N∩K，

得 G / N ? K。

6．设H1，H2，N都是群G的不变子群，且H1?H2，证明：

H1N?H2N 且 H1N / N?H2N / N。

证明：先证H1N和H2N都是G的子群。

?xN，yN∈H1N，其中x，y∈H1，由于N是G的不变子群，则有

－1－1

(xN)( yN)＝(xy)N∈H1N， (xN)＝xN∈H1N，

所以，H1N是G的子群。同理可得H2N也是G的子群。

再证H1N是H2N的不变子群。

?xN∈H1N，?aN∈H2N，其中x∈H1，a∈H2?G，则有

(aN )(xN )(aN )－1＝(aN )(xN )(a－1N )＝(axa－1)N，

因为H1是G的不变子群，则有axa－1∈H1，所以，

(aN )(xN )(aN )－1＝(axa－1)N∈H1N，

从而证得：H1N是H2N的不变子群。

作自然同态

f：H2N → H2N / N， h2n ? h2nN＝h2N，

其中h2∈H2，n∈N。因为

H1N?H2N， f (H2N )＝H2N / N， f (H1N )＝H1N / N， 由于不变子群的同态象仍是不变子群，所以，

H1N / N?H2N / N。

7．设G是一个群，a，b∈G，记

近世代数习题解答 第二章 57

〈a，b〉＝a―1b―1ab，

称为G的换位元，证明：

(1) G的有限个换位元的乘积全体所成的集合G′是G的不变子群；

(2) G / G′为交换群；

(3) 若H?G，且G / H为交换群，则G′? H。

证明：(1) 设α，β∈G′，即

α＝〈a1，b1〉〈a2，b2〉?〈ak，bk〉， β＝〈c1，d1〉〈c2，d2〉?〈cl，dl〉，

有 αβ＝〈a1，b1〉?〈ak，bk〉〈c1，d1〉?〈cl，dl〉∈G′，

―1―1―1 ―1―1―1

由于 〈a，b〉＝(abab)＝baba＝〈b，a〉∈G′,

―1―1

有 α＝[〈a1，b1〉〈a2，b2〉?〈ak，bk〉]

―1―1―1

＝〈ak，bk〉?〈a2，b2〉〈a1，b1〉＝〈bk，ak〉?〈b2，a2〉〈b1，a1〉∈G′。 又，?x∈G，〈a，b〉∈G′，有

x〈a，b〉x―1＝x(a―1b―1ab)x―1 ＝(xa―1x―1)(xb―1x―1) (xax―1)(xbx―1) ＝(xax―1)―1 (xbx―1)―1 (xax―1)(xbx―1) ＝〈xax―1，xbx―1〉∈G′，

所以，

―1―1 xαx＝x〈a1，b1〉〈a2，b2〉?〈ak，bk〉x

―1―1―1

＝(x〈a1，b1〉x)(x〈a2，b2〉x)?(x〈ak，bk〉x) ∈G′， 从而证得G′是G的一个不变子群。

(2) ?aG′，bG′∈G / G′，因为

(aG′)(bG′)＝(ab)G′，(bG′)(aG′)＝(ba)G′，

由于 (ba)―1ab＝a―1b―1ab＝〈a，b〉∈G′，

近世代数习题解答 第二章 58

所以， (aG′)(bG′)＝(ab)G′＝(ba)G′＝(bG′)(aG′)， 证得：G / G′为交换群。

(3) ?a，b∈G，由于G / H是交换群，则有

(ab)H＝(aH)(bH)＝(bH)(aH)＝(ba)H，

―1―1―1

得 〈a，b〉＝abab＝(ba)ab∈H， 即证得H中包含所有的换位元〈a，b〉，由于H是G的子群，因此H关于G的运算封闭，所以H中包含所有有限个换位元的乘积，即G′? H。