近世代数习题解答 第二章 52
(1)H(1)－1＝H＝{(1)，(123)，(132)}，
－1
(14)H(14)＝H4＝{(1)，(234)，(243)}，
－1
(24)H(24)＝H3＝{(1)，(134)，(143)}，
－1
(34)H(34)＝H2＝{(1)，(124)，(142)}。
所以，在S4中与H＝{(1)，(123)，(132)}共轭的子群仅有以上四个。
8．设G是有限群，H是G的n阶子群，如果H是G仅有的一个n阶子群，则H是G的不变子群。
证明：要证H是G的不变子群，只需证明：?a∈G，有 －1
aHa＝H。
－1
根据上题结果，我们有aHa是一个与H同构的G的子群，
－1
所以aHa是G的一个n阶子群，由条件知G只有唯一的一个n
－1
阶子群，从而得aHa＝H。
9．设
G＝Mn(Q)＝{有理数域上所有n阶可逆矩阵}，
H＝{A | A∈G，| A |＝1}，
证明：H是G的不变子群。
证明：?A，B∈H，则有 | A |＝| B |＝1，从而
－1－1
| AB |＝| A | | B |＝1， | A |＝1＝1， －1
得AB，A∈H，所以，H是G的一个子群。
再证不变性。?A∈H，?X∈G，我们有
| XAX －1 |＝| X | | A | | X －1 |＝| X | | X |－1 | A |＝1，
得XAX －1∈H。从而证得H是G的不变子群。
近世代数习题解答 第二章 53
10．设A，B是G的子群，C是由A∪B生成的子群，若B是C的不变子群，则C＝AB。
证明：要证明此题，首先要清楚题中的几个集合：
AB＝{ab | a∈A，b∈B}；
根据生成子群的结构，我们有
C＝(A∪B)＝{x1x2?xn | xi∈A∪B}，
再将同一个子群中的元素合并，则可得
C＝{a1b1a2b2?akbk | ai∈A，bj∈B}。
从上面两个集合的结构显然可得：AB?C；
反之，?a1b1a2b2?akbk∈C，因为b1a2∈Ba2，由于B是C的不变子群，从而有b1a2∈Ba2＝a2B，则存在b1′∈B使得
b1a2∈a2b1′，
所以， a1b1a2b2?akbk＝a1(b1a2)b2?akbk
＝a1 (a2 b1′)b2?akbk＝(a1 a2 )( b1′b2)?akbk，
以此类推可得
a1b1a2b2?akbk＝(a1a2?ak)bk′∈AB，
得C?AB。所以我们证得：AB＝C。
§2.8 同态基本定理
1．设f：G→G′是同态映射，a∈G，| a |＝n。证明：f (a)的阶是n的因数。
解：因为| a |＝n，则有an＝e，从而有
[f (a)]n＝f (an)＝f (e)＝e′，
近世代数习题解答 第二章 54
所以，f (a)的阶是n的因数。
2．设G＝{23 | m，n∈Q}，关于数的乘法作成群，作映射
mnmf：23 ? 2， 证明：f是G到G的同态映射，且求f (G)，Ker f。
解：要证f是同态映射，只需证f保持运算。?2m3n，2k3l∈G，则
f [(2m3n)(2k3l)]＝f (2m＋k 3n＋l)＝2m＋k＝2m2k＝f (2m 3n) f (2k 3l)， 得f是G到G的同态映射。
容易得到：
f (G)＝Im f＝{2m | m∈Q}，
n
Ker f＝{3 | n∈Q}。
3．证明：Z30 / (5) ? Z5，(其中5是Z30中的元素)。
证明：设H＝(5)＝{0，5，10，15，20，25}， 则 Z30 / (5)＝{H，1＋H，2＋H，3＋H，4＋H}， 记Z5＝{[0]，[1]，[2]，[3]，[4]}，作映射
f：Z30 / (5)→Z5，k＋H ? [ k ]，k＝0，1，2，3，4。 其中需要证f的定义是合理的与f是一个一一映射(限于篇幅，略)。
最后证f保持运算。?k＋H，l＋H∈Z30 / (5)，有
mn
近世代数习题解答 第二章 55
f [(k＋H)＋(l＋H)]＝f [(k＋l)＋H] ＝f (k?l＋H)＝[ k＋l ]＝[ k ]＋[ l ] ＝f (k＋H)＋f (l＋H)。
4．设f为G到G′的同态满射，Ker f＝K，H是G的子群，证明：f －1( f (H))＝HK。
证明：因为
－1
f ( f (H))＝{x∈G | f (x)∈f (H)}， －1
即f (x)∈f (H)，则存在h∈H，使得f (x)＝f (h)，?x∈f ( f (H))，从而有
e′＝f (h)－1f (x)＝f (h－1x)，
得h－1x∈Ker f＝K，则存在k∈K，使得h－1x＝k，即x＝hk∈HK，得f －1( f (H)) ? HK。
反之，?x∈HK，则x＝hk，h∈H，k∈K＝Ker f，有
f (x)＝f (hk)＝f (h) f (k)＝f (h)e′＝f (h)∈f (H)，
得 x∈{x∈G | f (x)∈f (H)}＝ f －1( f (H))， 从而得HK ? f －1( f (H))。
－1
所以，f ( f (H))＝HK。
5．设N?G，K?G，如果N∩K＝{e}，(N∪K)＝G，则
G / N ? K。
证明：由本章第七节习题10知：G＝NK，则有