X的分布列为

考点：（1）互斥事件概率的算法． （2）离散型随机变量分布列。 19. 如图，四棱锥别在棱

上，且

的底面是正方形，平面

.

底面

，

，点

分

（1）求证：（2）求直线（3）求二面角

； 与平面

所成角的正弦值. 的余弦值

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直性质定理得直判定定理得面垂直判定定理得在平面

平面

，即得平面

，即得交于点，则

，由

，再由平面

，有平面）与平面

，以及线面垂，再由线，所以

为

；（2）因为

为

（即

内的射影，延长所成的角，

解直角三角形得线面角正弦值.（3）以空间向量求角二面角，先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解平面法向量，由向量数量积得两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与两法向量关系得结果 试题解析：（1）因为四边形又因为又而故

底面平面平面

.

，则，有

，所以

， ，则

平面

，

是正方形，所以

，故

平面

， ，

（2）如图，延长所以又因为在故

中，与平面为

在平面

，

交于点，因为内的射影，故

，则有

，

所成角的正弦值为.

平面为

（即

， ）与平面

所成的角，

，

（3）分别以

所以那么

，

为轴建立空间直角坐标系，，

，设平面的法向量，

，

，

令

，则

，由（1）知，平面的大小为，且为锐角，所以

，

所以二面角20. 已知椭圆圆交于（1）求弦

两点，线段的长；

，且直线

时，交椭圆于

，若点在第一象限，求证：直线

的余弦值为.

的焦距为

的中点为，线段

，设右焦点为，过原点的直线与椭

.

的法向量

，

设所求二面角

的中点为，且

（2）当直线的斜率

与轴围成一个等腰三角形. 【答案】（1）

（2）见解析

，则根据条件表示

，

【解析】试题分析：（1）关键求点A坐标关系：设

，再根据向量数量积得

与轴围成一个等腰三角形，就是证直线程，再设关系，代入直线

，即得的长为.（2）证直线

的斜率相反.先确定A点坐标，并求出椭圆方

两点横坐标和与积的

与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得的斜率公式，并化简可证它们为相反关系.

的焦距为

，，则

，，所以，所以，又半焦距为

的长为

，设，所以椭圆

， .

试题解析：（1）因为椭圆：设

，则

，则，

（2）因为直线的斜率∴由（1）知，

时，且直线，所以

，， ，联解：

得设直线

的斜率分别为

，设，则

，

，

，则

，那么

，，

所以直线21. 已知函数（1）当（2）当（3）当证：【答案】（1）

与轴围成一个等腰三角形.

.

时，求函数时，对任意时，设函数

，

.

（3）见解析

都有

，数列

的最值；

恒成立，求实数的取值范围； 满足

，

，求

，无最大值.（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定单调性，进而确定最值（2）当

时

,利用导数易得

为单调递增函数，且

，因此

试题解析：（1）∵

∴

，令

（3）先证明为单调递增函数，再利用数学归纳法证明

，∴，

，得，则随变化如下：

所以（2）设当∴当

时，令，

函数

在，

所以综上，对任意（3）∵又加的， 所以∴

，当，当时，且

，无最大值.

，则

，，

成立；

，得

，当

，

，函数

在

，

上是增加的，

上是减小的，而，所以，当时，

不恒成立， 都有

恒成立时，，∴

时，

，∴

.

， 在

上是增

时，∵，

，