第五版线性代数同济版本的答案 第一章 行列式
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式
(1)
2011?4?1?183
解
2011?4?1?183
2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4 4
(2)
abcbcacab
解
abcbcacab
acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3
111abc222abc (3)
111abc222abc 解
bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2
(a b)(b c)(c a)
xyx?yyx?yxx?yxy
(4)
解
x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3)
2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 xyx?yyx?yxx?yxy
(1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2
解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3
解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)
n(n?1) 解 逆序数为
2
3 2 (1个)
5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个)
(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n
(6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解 逆序数为n(n 1) 3 2(1个)
5 2 5 4 (2个)
(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 4 2(1个)
6 2 6 4(2个)
(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解 含因子a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s
其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42 所以含因子a11a23的项分别是
( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 个) 个) 11
( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式
41100 (1)
1251202112514207 20214c2?c342??????10c?7c10307441100 解
?12302021?1024?1?10?14?122?(?1)4?30103?14
4?110c2?c39910?12?2??????00?2?010314c1?12c3171714
2315 (2)
1?12042361122
2315 解
1?12042361c4?c221?????312521?12042360r4?r222?????310221?12142340200
r4?r123?????10
1?120423002?000
(3)
?abacaebd?cddebfcf?ef
解
?abacae?bcebd?cdde?adfb?cebc?ebfcf?ef?111?adfbc1e?11?4abcdef11?1
a?100 (4)
1b?1001c?1001d
0r1?ar201?ab0??????1b10?1d00a?100 解
1b?1001c?1a1c?1001d
1?aba0c3?dc21?abaad?(?1)(?1)2?1?1c1??????1c1?cd0?1d0?10
abad?(?1)(?1)3?21??11?cd
abcd ab cd ad 1
5 证明:
(1)
a2abb22aa?b2b111 (a b)3;
证明
a2abb2c2?c1a2ab?a2b2?a22aa?b2b?????2ab?a2b?2a00111c3?c113?1
222ab?ab?aab?a?(?1)?(b?a)(b?a)12 b?a2b?2a(a b)3
ax?byay?bzaz?bxxyzay?bzaz?bxax?by?(a3?b3)yzxaz?bxax?byay?bzzxy;
(2)
证明
ax?byay?bzaz?bxay?bzaz?bxax?byaz?bxax?byay?bz
xay?bzaz?bxyay?bzaz?bx?ayaz?bxax?by?bzaz?bxax?byzax?byay?bzxax?byay?bz xay?bzzyzaz?bx?a2yaz?bxx?b2zxax?byzax?byyxyay?bz xyzyzx?a3yzx?b3zxyzxyxyz xyzxyz?a3yzx?b3yzxzxyzxy xyz?(a3?b3)yzxzxy
a2b2c22d (3)
证明
(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2?0(c?3)2(d?3)2; (a?3)2(b?3)2(c?3)2(d?3)2(c4
a2b2c2d2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2c3 c3 c2 c2 c1得)
a22b?c2d2a22b?c2d22a?12b?12c?12d?12a?12b?12c?12d?12a?32b?32c?32d?322222a?52b?52c?52d?5(c4
c3 c3 c2得)
22?022
1aa24a (4)
1bb2b41cc2c41dd2d4
(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明
1aa24a
1bb2b41cc2c41dd2d4
11110b?ac?ad?a?0b(b?a)c(c?a)d(d?a)2222222220b(b?a)c(c?a)d(d?a)
111?(b?a)(c?a)(d?a)bcd222b(b?a)c(c?a)d(d?a)
111?(b?a)(c?a)(d?a)0c?bd?b0c(c?b)(c?b?a)d(d?b)(d?b?a)
=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)
1?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)c(c?1b?a)d(d?b?a) ?1x? ? ?0an?10?1? ? ?0an?2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?0000?? ? ?x?1a2x?a1 (5)
证明 用数学归纳法证明
x0? ? ?0an xn a1xn 1 an 1x an
x?1?x2?ax?aD2?a12x?a21 当n 2时 命题成立
假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即
Dn 1 xn 1 a1 xn 2 an 2x an 1 则Dn按第一列展开 有
?1Dn?xDn?1?an(?1)n?1 ? x? ? 1
0?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 00 ? ? ? x00 ? ? ? ?1
xD n 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此 对于n阶行列式命题成立
6 设n阶行列式D det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转 依次得
证明
an1? ? ?annD1?? ? ?? ? ?? ? ?a11? ? ?a1nD1?D2?(?1)
a1n? ? ?annD2?? ? ?? ? ?? ? ?a11? ? ?an1
ann? ? ?a1nD3?? ? ?? ? ?? ? ?an1? ? ?a11
n(n?1)2D D3 D
证明 因为D det(aij) 所以
a11an1? ? ?annD1?? ? ?? ? ?? ? ??(?1)n?1an1? ? ?a11? ? ?a1na21
? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1nann? ? ?a2n
a11a21?(?1)n?1(?1)n?2an1? ? ?a31?(?1)1?2?? ? ??(n?2)?(n?1)? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1na2nann? ? ? ?? ? ?a3n
n(n?1)2D?(?1)D
同理可证
D2?(?1)
n(n?1)112a? ? ?an1? ? ?? ? ?? ? ?n(n?1)n(n?1)Ta1n? ? ?ann?(?1)2D?(?1)2D
n(n?1)2
D?(?1) 3n(n?1)2D2?(?1)(?1)n(n?1)2D?(?1)n(n?1)D?D
7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)
aDn? (1) 解
1? ? ?1a, 其中对角线上元素都是a 00a? ? ?00? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 未写出的元素都是0
a0Dn?0? ? ?010a0? ? ?00000? ? ?a0000? ? ?a100? ? ?0a(按第n行展开)
10a02n? ? ?(?1)?a? ? ??a(n?1)?(n?1)0(n?1)?(n?1)?an
0an?1?(?1)0? ? ?000a? ? ?0000? ? ?0a
?(?1)n?1?(?1)n
? ? ?a(n?2)(n?2) an an 2 an 2(a2 1)
xDn?? a? ?a (2)
ax? ? ?a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?aa? ? ?x;
? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ?? ? ?0x?a 解 将第一行乘( 1)分别加到其余各行 得
再将各列都加到第一列上 得
xaaa?xx?a0Dn?a?x0x?a? ? ?? ? ?? ? ?a?x00
x?(n?1)aaa0x?a0Dn?00x?a? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ?? ? ?0x?a
[x (n 1)a](x a)n 1
an(a?1)nan?1(a?1)n?1Dn?1?? ? ?? ? ?aa?111 (3)? ? ?(a?n)n? ? ?(a?n)n?1? ? ?? ? ?? ? ?a?n? ? ?1;
? ? ?1? ? ?a?n? ? ? ? ? ?? ? ?(a?n)n?1? ? ?(a?n)n
解 根据第6题结果 有
11a?1n(n?1)aDn?1?(?1)2 ? ? ? ? ? ?an?1(a?1)n?1nna(a?1)
此行列式为范德蒙德行列式
Dn?1?(?1)
n(n?1)2n?1?i?j?1?[(a?i?1)?(a?j?1)]
?(?1)
n(n?1)2n?1?i?j?1?[?(i?j)]?(?1)
n(n?1)2?(?1)n?(n?1)?? ? ??12?n?1?i?j?1?(i?j)
?
n?1?i?j?1?(i?j)? ? ??? ?
anD2n? (4) 解
a1b1c1d1?? ? ? ? ?bncndn;
anD2n?
? ? ?? ? ?a1b1c1d1? ? ?? ? ?bncndn(按第1行展开)
an?1?b ? n?10?? ? ??aanc1db111? ? c? ? ??nd 0?1?0n?1
d0n
0an?1? ? bn?1?? ? ??(?1)2n?1bac1b1n1d1? ? c? ? ??n?1d cn0n?1
再按最后一行展开得递推公式
D2n andnD2n 2 bncnD2n 2 即D2n (andn bncn)D2n Dn2n?i?bici)D2于是
?(aidi?2
Da2?c1b1?ad1?b1c而
1d111
Dn2n?所以 ?(aidi?bici)i?1
(5) D det(aij) 其中aij |i j|; 解 aij |i j|
011023?? ?? ?nnDn?deta(ij)?211?? 3? n??1? ? ??n?23
n?? ?1n? 202?? ?2n? 11?? ?03n? ?? ?4? ? ? ? ? ??? ?0? ?4
?1?111?r1?r2?11?1?111r??????1?1?11? ? ?1? ? ?1
?2 ?? ? r3n? ?? ?1n? ??1 ?2n? 1?1?? ?? ???? ?3n? ?? ?4?? ?? ??? 10? ?
2
?1c2?c1?11???????1c3?c1? ? ? ? ? ? n?1
000?200?2?20?2?2?2? ? ?? ? ?? ? ?2n?32n?42n?5? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?0000? ? ?n?1
( 1)n 1(n 1)2n 2
1?a11Dn?11?a2? ? ?? ? ?11 (6)
解
? ? ?1? ? ?1? ? ?? ? ?? ? ?1?an, 其中a1a2
an 0
1?a11Dn?11?a2? ? ?? ? ?11 ? ? ?1? ? ?1? ? ?? ? ?? ? ?1?an
a1c1?c2?a2?????0c2?c3? ? ?0 ? ? ? 00a2?a3? ? ?0000a3? ? ?00? ? ?0? ? ?0? ? ?0? ? ?? ? ?? ? ??an?1? ? ?0010101? ? ?? ? ?an?11?an1?an
1?1?a1a2? ? ?an0? ? ?00100?a1a2? ? ?an? ? ?001?1? ? ?00010? ? ?0001? ? ?00001? ? ?0? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ??10000? ? ?00a1?1?10a2?10a3? ? ?? ? ??11an?1?1?11?an 000? ? ?1a1?1?1a2?1a3? ? ??1an?1ni?1
000? ? ?001??ai?1
?(a1a2?an)(1??1)i?1ai
8 用克莱姆法则解下列方程组
n?x1?x2?x3?x4?5?x1?2x2?x3?4x4??2?2x?3x?x?5x??2234?3x1?x?22x3?11x4?0 (1)?1 解 因为
1D?123
12?311?1?1214??142?511
52D1???201D3?12312?311?1?12114??142D?12?52113
5?2?201?1?1214??284?511
12?315?2?20114??426D?142?5113
12?311?1?125?2?142?20
所以
x1?DD1DD?1x2?2?2x3?3?3x4?4??1D DDD
?1?5x1?6x2?0??x1?5x2?6x3x2?5x3?6x4?0?x3?5x4?6x5?0??x4?5x5?1
(2)?
解 因为
51D?000651000651000651000?66565
10D1?001
51D3?000 51D5?000
所以
6510065100651000651010001065100065100651006510510000106000?1507D2?00560??1145600156501015 0560100156000?703D4?01500??395600106500015 100?21201
x4?212x1?1507x2??1145x3?703x4??395665 665 665 665 665
9 问 取何值时 解 系数行列式为
???x1?x2?x3?0?x1??x2?x3?0?x?2?x2?x3?0 齐次线性方程组?1有非零解？
?11D?1?1?????12?1
令D 0 得
0或 1
于是 当 0或 1时该齐次线性方程组有非零解
10 问 取何值时 解 系数行列式为
??(1??)x1?2x2?4x3?0?2x1?(3??)x2?x3?0?x?x2?(1??)x3?0 齐次线性方程组?1有非零解？
1???241???3??4D?23??1?21??1111??101??
(1 )3 ( 3) 4(1 ) 2(1 )( 3 )
(1 )3 2(1 )2 3 令D 0 得
0 2或 3
于是 当 0 2或 3时 该齐次线性方程组有非零解
第二章 矩阵及其运算
1 已知线性变换
??x1?2y1?2y2?y3?x2?3y1?y2?5y3??x3?3y1?2y2?3y3
求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解 由已知
?x1??221??y1??x???315??y??x2??323??y2???2? ?3???1
?y1??221??x1???7?49??y1??y???315??x???63?7??y??y2??323??x2??32?4??2???3????y3? 故 ?2??
??y1??7x1?4x2?9x3?y2?6x1?3x2?7x3??y3?3x1?2x2?4x3 ??x1?2y1?y3?x2??2y1?3y2?2y3??x3?4y1?y2?5y3
2 已知两个线性变换
??y1??3z1?z2?y2?2z1?z3??y3??z2?3z3
求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换
解 由已知
?x1??201??y1??201???31?x????232??y????232??20?x2??415??y2??415??0?1??2???? ?3??0??z1?1??z2??z?3???3?
??613??z1???12?49??z2???10?116??z????3?
??x1??6z1?z2?3z3?x2?12z1?4z2?9z3?x??10z1?z2?16z3所以有?3
3
?111??123?A??11?1?B???1?24??1?11??051????? 设
求3AB 2A及ATB
?111??123??111?3AB?2A?3?11?1???1?24??2?11?1??1?11??051??1?11??????? 解
?058??111???21322??3?0?56??2?11?1????2?1720??290??1?11??429?2??????? ?111??123??058?ATB??11?1???1?24???0?56??1?11??051??290???????
4 计算下列乘积
?431??7??1?23??2??570??1???? (1)?
?431??7??4?7?3?2?1?1??35??1?23??2???1?7?(?2)?2?3?1???6??570??1??5?7?7?2?0?1??49???? ???? 解 ?
?3?(123)?2??1??? (2)
解
?3?(123)?2??1???
(1 3 2 2 3 1) (10)
??21??(?12) (3)??3??
??2?2?(?1)2?21??(?12)??1?(?1)1?2?????242?? 解
??3?????3?(?1)3?2????1??36??
31??22???1?114304????10???1??1 (4)
?403?1?2??
1??1?2?1?114304???0??31????132? 解
?40?1?2??6?78?????20?5?6??
(x?a11a12a13??x1?1x2x3)??a12a22a23??x (5)
?a??x2??13a23a33??3?
解
(x?a11a12a13??x1?1x2x3)??a12a
?a13a22a23a23????x2??33??x3?
(a11x1 a12x2 a13x3 a12x1 a22x2 a23x3 a13x1 a23x2 ?a11x12?a22x22?a33x32?2a12x1x2?2a13x1x3?2a23x2x3
A???12 3??B?? 5
设?1??1 ?102???
问
(1)AB BA吗?
解 AB BA
AB???34?46??2?BA???1 因为 ?38???
所以AB BA
??x?x1??a33x3)?x2?3?
(2)(A B)2 A2 2AB B2吗? 解 (A B)2 A2 2AB B2
2A?B???2? 因为
2?5??
2(A?B)2???2?2??2?25???2???814??1429?5?? ??
但
38??68???10???1016?A2?2AB?B2???411???812??34??1527?? ???????
所以(A B)2 A2 2AB B2
(3)(A B)(A B) A2 B2吗? 解 (A B)(A B) A2 B2
2A?B???2? 因为
2?5??
0A?B???0?2??0?5???02?1??
2(A?B)(A?B)???2?2???0?1???06?9??
而
38??1A2?B2???411???3???0???2?14???8?7??
故(A B)(A B) A2 B2
6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A2 0 则A 0
0A???0? 解 取1A???0? 解 取
1?0?? 1?0??
则A2 0 但A 0
(2)若A2 A 则A 0或A E
则A2 A 但A 0且A E
(3)若AX AY 且A 0 则X Y
解 取
1A???0?0?0??
1111X????11??Y???01???? ??
则AX AY 且A 0 但X Y
7
10A????1???? 设
求A2 A3 Ak
解
1A2?????0??1??1???0???10??2?1?1????
10??1A3?A2A???2?1??????1Ak???k??0?1??
0???10???1???3?1?
8
??10?A??0?1??00???? 设
求Ak
解 首先观察
21???10???10???2?2A2??0?1??0?1???0?2???00???00???00?2?? ?????
??33?23??A3?A2?A??0?33?2??00?3??? ??44?36?2?A4?A3?A??0?44?3??00?4???
??55?410?3?A5?A4?A??0?55?4??00?5???
??kk?k?1k(k?1)?k?2?k2A??kk?10?k??k00??
用数学归纳法证明
当k 2时 显然成立 假设k时成立，则k 1时，
?????
??kk?k?1k(k?1)?k?2?????10?2Ak?1?Ak?A??0?kk?k?1??0?1??00??00???k??????
??k?1(k?1)?k?1(k?1)k?k?1???2??0?k?1(k?1)?k?1???k?100???? ?由数学归纳法原理知
??kk?k?1k(k?1)?k?2???2Ak??0?kk?k?1??00??k????
9 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵
证明 因为AT A 所以
(BTAB)T BT(BTA)T BTATB BTAB 从而BTAB是对称矩阵
10 设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明 充分性 因为AT A BT B 且AB BA 所以 (AB)T (BA)T ATBT AB 即AB是对称矩阵
必要性 因为AT A BT B 且(AB)T AB 所以 AB (AB)T BTAT BA 11 求下列矩阵的逆矩阵
1??2 (1)? 解
2?5??
1A???2?2?5??
|A| 1 故A 1存在 因为
A11A21??5?2?A*???AA????21?? ?1222??
5?2A?1?1A*????21??|A|?? 故
cos??sin???sin?cos???? (2)? 解
co?s?sin??A???sins???co??
|A| 1 0 故A 1存在 因为
A*???A11A
?A??co?ssin??12A2122??????sin?co?s?? A?1?1|A|A*?????csoi?s所以
n?csoin??s???
??132?1? (3)??5?44?12???
A???12?1? 解
?34?2??5?41??
|A| 2 0 故A 1存在A*???A11A21A31???420??A12A22A32? ?A?????136?1?
13A23A33???3214?2??
??21A?1?1A????130?23?1?2??所以
|A|*???167?1? ??a1a0??2??0??? (4)?an?(a1a2
an 0)
?A??a10??a2??0??? 解 ?an?
由对角矩阵的性质知
因为?1??a1?0?1a??12?A?????1?0???a?n?
12 解下列矩阵方程
2??1 (1)?5?X??4?6??21?3????
?1
2X???1? 解 5??4?6??3?5??4?6??2?23??21????12??21???08?3??????????
?21?1?1?13X?210????432???1?11????? (2)
?1 解
?21?1?1?13???210?X????432??1?11???
?101?1?131???432????23?2?3????330???
??221?82?????5??3? ?31???1 (3)? 解
4?X?2?2????10???31???1???0?1?
?11X????1?4??31??2???2???0?1???1?10?1??
2?4?31??10??1??11???0?1??12?12?????? 6??1?10????11?0???1??0?2???4?
6?1??312??010??100??1?43??100?X?001???20?1??001??010??1?20?????? (4)??1
?1 解
?010??1?43??100?X??100??20?1??001??001??1?20??010???????
?010??1?43??100??2?10????100??20?1??001???
?001????1?20?1???010????1 13 利用逆矩阵解下列线性方程组 ??x?2x2x12?3x3?1?1?2x2?5x (1)?x1?5xx3?2?32?3?3
解 方程组可表示为
??1?22235????xx1?????12?? ?351????x2??3?3???
??x??123??11?1??1??x???225??2???0?故 ?x2??3??351????3????0?? ??x1?1?x从而有 ??x2?03?0
??x1?x2?x3?2?2x1?x2?3x (2)?3x1?2x?5x3?1?23?0
解 方程组可表示为
??1?1?1??x1??2?1?3??x??2? ?32?5?????1??x2??3??0??
30??4?2??
?x1??1?1?1??2??5??x???2?1?3??1???0??x2??32?5??0??3?????? 故 ?3??x?5??1?x2?0?x?3故有 ?3
14 设Ak O (k为正整数) 证明(E A) 1 E A A2 Ak 1 ?1 证明 因为Ak O 所以E Ak E 又因为 E Ak (E A)(E A A2 Ak 1) 所以 (E A)(E A A2 Ak 1) E 由定理2推论知(E A)可逆 且
(E A) 1 E A A2 Ak 1
证明 一方面 有E (E A) 1(E A) 另一方面 由Ak O 有
E (E A) (A A2) A2 Ak 1 (Ak 1 Ak) (E A A2 A k 1)(E A)
故 (E A) 1(E A) (E A A2 Ak 1)(E A) 两端同时右乘(E A) 1 就有
(E A) 1(E A) E A A2 Ak 1
15 设方阵A满足A2 A 2E O 证明A及A 2E都可逆(A 2E) 1
证明 由A2 A 2E O得
A2 A 2E 即A(A E) 2E
或 A?12(A?E)?E
由定理2推论知A可逆 且A?1?12(A?E)
由A2 A 2E O得
A2 A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E
或 (A?2E)?14(3E?A)?E
由定理2推论知(A 2E)可逆 且(A?2E)?1?14(3E?A)
A 及 并求1 证明 由A2 A 2E O得A2 A 2E 两端同时取行列式得 |A2 A| 2 即 |A||A E| 2 故 |A| 0
所以A可逆 而A 2E A2 |A 2E| |A2| |A|2 0 故A 2E也可逆 由 A2 A 2E O A(A E) 2E
A?1?1(A?E)2 A 1A(A E) 2A 1E
又由 A2 A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E
(A 2E)(A 3E) 4 E
所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1
(A?2E)?1?1(3E?A)4
|A|?12 求|(2A) 1 5A*| 16 设A为3阶矩阵
A?1?1A*|A| 解 因为
所以
|(2A)?1?5A*|?|1A?1?5|A|A?1|?|1A?1?5A?1|222
| 2A 1| ( 2)3|A 1| 8|A| 1 8 2 16
17 设矩阵A可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*) 1 (A 1)*
A?1?1A*|A| 证明 由
得A* |A|A 1 所以当A可逆时 有
|A*| |A|n|A 1| |A|n 1 0
从而A*也可逆
因为A* |A|A 1 所以 (A*) 1 |A| 1A
?1?1A?1(A)*?|A|(A)*?1|A|又
所以
(A*) 1 |A| 1A |A| 1|A|(A 1)* (A 1)* 18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A| 0 则|A*| 0 (2)|A*| |A|n 1 证明
(1)用反证法证明 假设|A*| 0 则有A*(A*) 1 E 由此得
A A A*(A*) 1 |A|E(A*) 1 O
所以A* O 这与|A*| 0矛盾，故当|A| 0时 有|A*| 0
A?1?1A*|A| (2)由于
则AA* |A|E 取行列式得到
|A||A*| |A|n
若|A| 0 则|A*| |A|n 1
若|A| 0 由(1)知|A*| 0 此时命题也成立 因此|A*| |A|n 1
19
?033?A??110???123??? 设
AB A 2B 求B
?1 解 由AB A 2E可得(A 2E)B A 故
??233??033??033?B?(A?2E)?1A??1?10??110????123???121???123??110?? ??????101?A??020??101??? 设
20 且AB E A2 B 求B
解 由AB E A2 B得
(A E)B A2 E
即 (A E)B (A E)(A E)
001|A?E|?010??1?0100 因为
所以(A E)可逆 从而
?201?B?A?E??030??102???
21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B
解 由A*BA 2BA 8E得 (A* 2E)BA 8E B 8(A* 2E) 1A 1 8[A(A* 2E)] 1 8(AA* 2A) 1 8(|A|E 2A) 1 8( 2E 2A) 1
4(E A) 1
4[diag(2 1 2)] 1
1, ?1, 1)?4dia(g22
2diag(1 2 1)
?1?0A*??1?0? 22 已知矩阵A的伴随阵
010?300100?0?0?8??
且ABA 1 BA 1 3E 求B
解 由|A*| |A|3 8 得|A| 2 由ABA 1 BA 1 3E得 AB B 3A
B 3(A E) 1A 3[A(E A 1)] 1A
?3(E?1A*)?1?6(2E?A*)?12
?1?0?6??1?0?010300100??600???060??60?03?6????100600?0?0??1??
23 设P 1AP
?1?4?1P???11??????0?? ? 其中
4?P?1?1?14???1?1?1?3? ??
0?2??
求A11
解 由P 1AP 得A P P 1 所以A11 A=P 11P 1.
|P| 3
1P*????1?11
?1?11???0?而 0????10 ??11?2???02?
故
?14????1?4?10????1133A????0211??11?2731273211????????????683?684??? ?33??
P???1101?21???????1? 24 设AP P 其中
??1?11???1?? ?5? 求 (A) A8(5E 6A A2) 解 ( ) 8(5E 6 2)
diag(1 1 58)[diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25)] diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0) (A) P ( )P 1
?1
|P|P?(?)P*
??2??1101?21????100000??????23?2?2?
???11????000?????102?3?11??
?4??111?
?111??111??
25 设矩阵A、B及A B都可逆 证明A 1 B 1也可逆 并求其逆阵 证明 因为
A 1(A B)B 1 B 1 A 1 A 1 B 1
而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B)B 1可逆 即A 1 可逆
(A 1 B 1) 1 [A 1(A B)B 1] 1 B(A B) 1A
??120?01????0?00101131? 26 计算?002031???01?0?22?0?31?0???003??
A12A? 解 设1????01???
?2
2?01?3???B 1???3?2?11???B???23? 2??0?3??
??A1E??EB1???A1A1B1?B则 ?OA2????OB2???2??OA2B2??
AB?B??12而
112?01???3???1??2?1??????23??0?3?????52??2?4??
B 1
2A2B2???0?1???23????43??0?3??0?9?3??????
?1?0?A1E??EB1???A1A1B1?B2???0?OA??OB??OAB??0?2??2?22??所以 ?252?12?4?0?43?00?9??
即 27
解而 故 28 解则 故 ??1201???102?0?00101??1?0013?21??12?31?????0152?00203???0?000?3?4?24??0???0?0?3?009??
A?B??C?D??10取
??01??AB?? |A||B| 验证CD|C||D|
AB101101200CD??0000?020001?1101?01?01100?2010010201?4
||CA||||DB||?1111?0
CADB? ||CA||||DB||
?A??3?4?43O??设
??O220?2?? 求|A8|及A4 A34?41???3??A2令
??
2???20?2???
A???A1O??OA2??
8A8??8?A1O??AO?2????1?OA?OA8?2?
8888816|A|?|A||A|?|A||A|?101212
29 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆 求
?540O?4?054?O?4?AA??14????4OA20?2??O64?22??
?1OA??BO??? (1)?OA???C1C2???BO??CC???34? 则 解 设?OA??C1C2???AC3AC4???EnO???BO??CC??BCBC??OE?s? 2????34??1 ??1?AC3?En?AC4?O?BC?O?BC1?E2s 由此得 ??1?C3?A?1?C4?O?C?O?C1?B?1?2
OA???OB?1???BO??A?1O???? 所以 ?AO??CB???? (2)
?1AO??D1D2???CB???DD???34? 则 解 设?AD2??EnO?AO?D1D2???AD1??CB???DD??CD?BDCD?BD???OE???34??1324??s? ?
?1?AD1?En?AD2?O?CD?BD?O?CD1?BD3?E24s 由此得 ??1?D1?A?1?D2?O?D??B?1CA?1?D3?B?1?4
AO???A?1O???CB???B?1CA?1B?1???? 所以 ? 30 求下列矩阵的逆阵
?5?2?0?0 (1)?210000850?0?3?2??
5A???2? 解 设5A?1???2?
2?B??8?51?? ??13?2??
则
2???1?2?B?1??8??25??51???? ??13???2?3???58?2????
?1?5?2?0?0于是 ??1?1?2?1 (2)?02122100003100850??1?200??1?10???A???A????2500?????1??03??02?3BB???????2?00?58??
0?0?0?4??
1A???1? 解 设
0?B??30?C??21??14??12?2?? ?? ??
?1 则
?1?1?2?1 ?021200310??10???AO???A?1O????0??CB???B?1CA?1B?1???4?
0??0??0?1??4?
00?1?11?0?22?1??1?1?263?15??1?2412 ?8
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1 把下列矩阵化为行最简形矩阵
??102 (1)?2?3003?14?31????
??102 解 ?203?11???304?3??(下一步 r2 ( 2)r1 ?? ~?010?002?1?0??213?0??(下一步 r2 ( 1) ??102?1 ~?00?011?3??00??(下一步 r3 r2 )
??010021??31?? ~??0003??(下一步 r3 3 )
??1 ~?0002?01?1?0?13?0??(下一步 r2 3r3 )
??102?1? ~?0?000010?1??(下一步 r1 ( 2)r2 ??10000100?? ~??0001??
??0023??31? (2)??4?47?3?01??
( 3)r1 )
( 2) )
r3 )
r3 r3 r1 ??0 解 ?02?034??3?41?7?3?1??(下一步 r2 2 ( 3)r1 r3 ( 2)r1 )
??02?31? ~?0?000?11?3?3??(下一步 r3 r2 r1 3r2 )
??002001103?? ~??0000??(下一步 r1 2 )
??00100153? ~???0000??
??33?31?23???3125??41?? (3)??334?4?22?0?1??
??1?133?3?2??35? 解 ?3?233?44?41???22?0?1??(下一步 r2 3r1 r3 2r1 r4 3r1 )
??1??001?34?48?38???00? ~?0?35106??106?0??(下一步 r2 ( 4) r3 ( 3) r4 ( ??1??0013?3?0012?? ~?001?4?21?222?2??(下一步 r1 3r2 r3 r2 r4 r2 )
??1??0010?001?22?32?? ~?000000?00??
5) ) ?23?12?3?2?2?3 (4)?1?3?7?0?2?4?830?743??
?23?12?3?2?2?3 解 ?1?3?7?0?2?4?830?743??(下一步 r1 2r2 r3 3r2 r4 2r2 )
??0??01?1111? ~?0??280?2?4?7879812?11??(下一步 r2 2r1 r3 8r1 r4 7r1 ??0??101?002101 ~?00001?21??14?4??(下一步 r1 r2 r2 ( 1) r4 r3 ) ??10?0?2?00101?01??2?041?1? ~?0000??(下一步 r2 r3 ) ??10?01?20?00010? ~?000132??04?0??
??0 2
设?11?00000??1?A??101??123???0?0100?1???456????789?? 求A
??010? 解 ?1?0000?1??是初等矩阵E(1 2) 其逆矩阵就是其本身 ??101? ?0?0100?1??是初等矩阵E(1 2(1)) 其逆矩阵是
)
E(1 2( 1))
?10?1???010??001???
?010??123??10?1?A??100??456??010??001??789??001???????
?456??10?1??452???123??010???122??789??001??782???????
3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵
?321??315??323?? (1)?
?321100??321100??315010??0?14?110??323001??002?101?? ?~? 解 ??3203/20?1/2??3007/22?9/2??0?1011?2??0?1011?2??002?10??001?1/201/2?1?~?? ~??1007/62/3?3/2??010?1?12??001?1/201/2?? ~??7?6??1?1??2故逆矩阵为?2?3?32??12??102??
?3?20?1??0221??1?2?3?2??0121?? (2)?
??3?20?11000??0?1?22?23?210010010?0? 解 ?01210001? ? ??1?2?3?20010??0?0412910001? ~?022510101?300?0?? ??1?2?3?20010??0?00121110100?03?41?? ~?00?2?1010?2?? ???01?21?32?2100000101???0 ~?00001112101??36??104??? ??1?200?1??2?0?0100?01? ~?000010121?111`0??2?1?36?106???
??100?100?0000?0111?1?210?3?41?? ~?00100106?121?6???
??11?2?4????01?110?1?故逆矩阵为?21?36?106???
A???4221?21??B???21?32?? 4
(1)设??31?1??
??3?1?? 解 因为
求X使AX B
?41?21?3?r?100102?(A, B)??221 22?~ ?010 ?15?3??31?13?1??001124????? ?102?X?A?1B???15?3??124???
所以
?021?A??2?13?B??123??2?31???33?4??? ?? (2)设
解 考虑ATXT BT 因为
求X使XA B
?02?312?r?1002?4?(AT, BT)??2?132?3?~ ?010?17??13?431??001?14?? ????2?4?XT?(AT)?1BT???17???14???
所以
从而
2?1?1X?BA?1????474????
5
?1?10?A??01?1???101??? 设
AX 2X A 求X
解 原方程化为(A 2E)X A 因为
??1?101?10?(A?2E, A)??0?1?101?1???10?1?101???
?10001?1?~?010?101??0011?10???
所以
?01?1?X?(A?2E)?1A???101??1?10???
6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r 1阶子式? 有没有等于0的r阶子式?
解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r 1阶子式 也可能存在等于0的r阶子式
例如
?1000?A??0100??0010???
R(A) 3
0000是等于0的2阶子式
000100010是等于0的3阶子式
7 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎样? 解 R(A) R(B)
这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩
8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)
解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵
?1?1?1?0?0?0?100000100000100?0?0?0?0??
此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量
9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式
?3102??1?12?1??13?44??; (1)??3102??1?12?1??13?44??(下一步 解 ??1?12?1??3102??13?44??(下一步 ~??1?12?1??04?65??04?65??(下一步 ~? r1 r2 )
r2 3r1 r3 r1 )
r3 r2 )
1?12?1??04?65?0000?? ~?矩阵的秩为2
31??41?1是一个最高阶非零子式
?32?1?3?1??2?131?3??705?1?8?? (2)?
?32?1?3?2??2?131?3??705?1?8??(下一步 解 ? r1 r2 r2 2r1 r3 7r1 )
13?4?41??0?7119?5?0?213327?15??(下一步 r3 3r2 ) ~?13?4?41??0?7119?5?00000?? ~?32??72?1矩阵的秩是2 是一个最高阶非零子式
?218?2?30?3?25?103 (3)?37?7?5?80?20??
?218?2?30?3?25?103 解 ?37?7?5?80?20??(下一步 r1 2r4 r2 2r4 r3 3r4 )
7??5?0?0??(下一步 r2 3r1 r3 2r1 )
?012?1?0?3?63?0?2?42?1032 ~??0?0?0?1 ~??0?0?0?1 ~?1000100020032003?17?016?014?20??(下一步 r2 16r4 r3 16r2 ) ?10027?1?0?0?? 0?7?1?0??
?1?0?0?0 ~?010032002?100矩阵的秩为3
07?5580?70?0320是一个最高阶非零子式
10 设A、B都是m n矩阵 证明A~B的充分必要条件是R(A) R(B)
证明 根据定理3 必要性是成立的
充分性 设R(A) R(B) 则A与B的标准形是相同的 设A与B的标准形为D 则有 A~D D~B
由等价关系的传递性 有A~B
11
?1?23k?A???12k?3??k?23??? 设
问k为何值 可使
(1)R(A) 1 (2)R(A) 2 (3)R(A) 3
解
k?1?23k?r?1?1??A???12k?3?~ ?0k?1k?1?k?23??00?(k?1)(k?2)?????
(1)当k 1时 R(A) 1
(2)当k 2且k 1时 R(A) 2 (3)当k 1且k 2时 R(A) 3
12 求解下列齐次线性方程组:
??x1?x2?2x3?x4?0?2x1?x2?x3?x4?0?2x?2x2?x3?2x4?0 (1)?1
解 对系数矩阵A进行初等行变换 有
A
0??112?1??10?1?211?1??013?1??2212??001?4/3???~??
于是
?x?4x?134?x2??3x4?4?x3?x4?x?3?4x4
故方程组的解为
?4??x1??3??x???3??x2??k?4??3????x4??3??1?(k为任意常数)
??x1?2x2?x3?x4?0?3x1?6x2?x3?3x4?0?5x?10x2?x3?5x4?0 (2)?1
解 对系数矩阵A进行初等行变换 有
A
?121?1??120?1??36?1?3??0010??5101?5??0000???~??
于是
故方程组的解为
?x1??2x2?x4?x2?x2?x?0?x3?x?44
?x1???2??1??x??1??0??x2??k1?0??k2?0??3??0??1?x????(k1 ?4? k2为任意常数)
?2x1?3x2?x3?5x4?0?3x1?x2?2x3?7x4?0?4x?x?3x?6x?01234?x?2x2?4x3?7x4?0
(3)?1?23?31?41?1?2 A ?
解 对系数矩阵A进行初等行变换 有
?15??12?7??0?36??0?04?7??~?010000100?0?0?1??
于是
故方程组的解为
?x1?0?x2?0?x?0?x3?0?4
?x1?0?x2?0?x?0?x3?0?4
?3x1?4x2?5x3?7x4?0?2x1?3x2?3x3?2x4?0?4x?11x?13x?16x?034?7x1?2x2?x?3x4?023 (4)?1
?1?7??0?2??16??0?03??~?
解 对系数矩阵A进行初等行变换 有
?34?5?2?33?411?13?7?21 A ?0?3171?1917000013?17?20??17?00??
于是
?x?3x?13x?1173174?1920xx?x??2173174?x?x?x3?x3?44
故方程组的解为
?3???13??x1??17??17??x??19??20??x2??k1???k2????3??17??17??x4??1??0??0??1?(k1
13 求解下列非齐次线性方程组:
k2为任意常数)
??4x1?2x2?x3?2?3x1?1x2?2x3?10?11x?3x2?8 (1)?1
解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B
?42?12??13?3?8??3?1210?0?101134?11308??000?6?? ??~?
于是R(A) 2 而R(B) 3 故方程组无解
?2x?3y?z?4?x?2y?4z??5?3x?8y?2z?13?4x?y?9z??6 (2)? ?231?1?24?38?2?4?19 B ?
解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
4??1?5??013??0??6??~?001002?100?1?2?0?0??
于是
??x??2z?1?y?z?2??z?z
?x???2???1??y??k?1???2??z??1??0?????(k为任意常数) 即 ??
??2x?y?z?w?1?4x?2y?2z?w?2?2x?y?z?w?1
(3)?
解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B
?21?111??11/2?1/201/2??42?212??00010??21?1?11??00000???~??
?x??1y?1z?1?222??y?y?z?z?w?0于是 ?
1?1??1???x??????2??2?2?y??z??k1?1??k2?0???0??1??0?0??w????0??0????0??????即 (k1 k2为任意常数)
??2x?y?z?w?1?3x?2y?z?3w?4?x?4y?3z?5w??2
(4)?
解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B
?21?111??10?1/7?1/76/7??3?21?34?01?5/79/7?5/7??14?35?2??00000? ??~?
于是
?x?1z?1w?6?777?595y?z?w??777?z?z?w?w?
?1??1??6??x??7??7??7??y??5??9??5??z??k1?7??k2??7????7??w??1??0??0??????????0??1??0?(k1 即
14 写出一个以
k2为任意常数)
?2???2???3??4?x?c1???c2??10?0??1?????
为通解的齐次线性方程组 解 根据已知 可得
?x1??2???2??x???3??4??x2??c1?1??c2?0??3??0??1?x???? ?4?与此等价地可以写成
?x1?2c1?c2?x2??3c1?4c2?x?c?x3?c1 ?42
或
?x1?2x3?x4?x??3x?4x?234
或
这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组
15 取何值时 非齐次线性方程组
?x1?2x3?x4?0?x?3x?4x?0?234
(1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷多个解?
???x1?x2?x3?1?x1??x2?x3??2??x1?x2??x3??
解
??111?B??1?1???11??2???
211???~ ?0??11???(1??)??2?00(1??)(2??)(1??)(??1)? r
(1)要使方程组有唯一解 必须R(A) 3 因此当 1且 2时方程组有唯一解.
(2)要使方程组无解 必须R(A) R(B) 故 (1 )(2 ) 0 (1 )( 1)2 0 因此 2时 方程组无解
(3)要使方程组有有无穷多个解 必须R(A) R(B) 3 故 (1 )(2 ) 0 (1 )( 1)2 0 因此当 1时 方程组有无穷多个解.
16 非齐次线性方程组
???2x1?x2?x3??2?x1?2x2?x3??2??x1?x2?2x3??
当 取何值时有解？并求出它的解
?1?21????2??211?2?01?1?(??1)?B??1?21?????11?2?2??000(??13)(??2)? ??~? 解
要使方程组有解 必须(1 )( 2) 0 即 1 2
当 1时
??211?2??10?11?B??1?211??01?10??11?21??0000?? ??~?
方程组解为
??x1?x3?1?x1?x3?1?x2?x3?x?x?x3?x3 ?23或?
?x1??1??1??x??k?1???0??x2??1??0?????(k为任意常数) 即 ?3? 当 2时
??211?2??10?12?B??1?21?2??01?12??11?24??0000?? ??~?
方程组解为
??x1?x3?2?x1?x3?2?x2?x3?2?x?x?2?x?x?23或?33
?x1??1??2??x??k?1???2??x2??1??0?????(k为任意常数) 即 ?3?
17
问 为何值时 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解
??(2??)x1?2x2?2x3?1?2x1?(5??)x2?4x3?2??2x1?4x2?(5??)x3????1 设?
2?21??2???25???42???2?45?????1???
解 B
?42?25????01???1??1???00(1??)(10??)(1??)(4??)?? ~?
要使方程组有唯一解 必须R(A) R(B) 3 即必须
(1 )(10 ) 0
所以当 1且 10时 方程组有唯一解.
要使方程组无解 必须R(A) R(B) 即必须 (1 )(10 ) 0且(1 )(4 ) 0 所以当 10时 方程组无解.
要使方程组有无穷多解 必须R(A) R(B) 3 即必须 (1 )(10 ) 0且(1 )(4 ) 0
所以当 1时 方程组有无穷多解 此时，增广矩阵为
?12?21??0000??0000?? B~?方程组的解为
??x1??x2?x3?1?x2? x2? 3 ?x3? x
?x1???2??2??1??x??k?1??k?0???0??x2?1?0?2?1??0???????(k1 或 ?3? k2为任意常数)
18 证明R(A) 1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT 使A abT
证明 必要性 由R(A) 1知A的标准形为
?1?0?????0 ?00???0????????????0??1?0???0?(1, 0, ???, 0)??????????0?0????
即存在可逆矩阵P和Q 使
?1??1??0????10PAQ???(1, 0, ???, 0)A?P??(1, 0, ???, 0)Q?1???????0??0????? 或
?1????10a?P??????0??? bT (1 0 0)Q 1 则a是非零列向量 bT是非零行向 令
量 且A abT
充分性 因为a与bT是都是非零向量 所以A是非零矩阵 从而R(A) 1 因为
1 R(A) R(abT) min{R(a) R(bT)} min{1 1} 1 所以R(A) 1
19 设A为m n矩阵 证明
(1)方程AX Em有解的充分必要条件是R(A) m 证明 由定理7 方程AX Em有解的充分必要条件是 R(A) R(A Em)
而| Em|是矩阵(A Em)的最高阶非零子式 故R(A) R(A Em) m 因此 方程
AX Em有解的充分必要条件是R(A) m
(2)方程YA En有解的充分必要条件是R(A) n
证明 注意 方程YA En有解的充分必要条件是ATYT En有解 由(1) ATYT En有解的充分必要条件是R(AT) n 因此，方程YA En有解的充分必要条件是R(A) R(AT) n
20 设A为m n矩阵 证明 若AX AY 且R(A) n 则X Y
证明 由AX AY 得A(X Y) O 因为R(A) n 由定理9 方程A(X Y) O只有零解 即X Y O 也就是X Y
第四章 向量组的线性相关性
1 设v1 (1 1 0)T v2 (0 1 1)T v3 (3 4 0)T 求v1 3v1 2v2 v3
解 v1 v2 (1 1 0)T (0 1 1)T (1 0 1 1 0 1)T (1 0 1)T
3v1 2v2 v3 3(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (3 1 2 0 3 3 1 2 1 4 3 0 2 1 0)T (0 1 2)T
2 设3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a) 求a 其中a1 (2 5 1 3)T a2 (10 1 5 10)T a3 (4 1 1 1)T 解 由3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a)整理得
a?16(3a1?2a2?5a3)
?16[3(2, 5, 1, 3)T?2(10, 1, 5, 10)T?5(4, 1, ?1, 1)T]
(1 2 3 4)T 3 已知向量组
A a1 (0 1 2 3)T a2 (3 0 1 2)T a3 (2 3 0 1)T B b1 (2 1 1 2)T b2 (0 2 1 1)T b3 (4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示 但A组不能由B组线性表示 证明 由
?032(A, B)???10321?0244??r??10?20331?24?
?3211111?~ ?0213???0?021?2?6204?8??1157??7?9??
v2及 ?1?0~ ?0?0?
r031?6020041?24??1r??15?7?~0 5?1525??0?01?35???031?24?1?6?15?7?041?35?00000??
知R(A) R(A B) 3 所以B组能由A组线性表示
由
?204??102??1?1?24?r?0?22?r?0B??~~111??01?1??0?213??01?1??0?????
01002??1?0?0??
知R(B) 2 因为R(B) R(B A) 所以A组不能由B组线性表示
4 已知向量组
A a1 (0 1 1)T a2 (1 1 0)T
B b1 ( 1 0 1)T b2 (1 2 1)T b3 (3 2 1)T 证明A组与B组等价 证明 由
??11301?r??11301?r??11301?(B, A)??02211?~?02211?~?02211??11?110??02211??00000???????
知R(B) R(B A) 2 显然在A中有二阶非零子式 故R(A) 2 又R(A) R(B
A) 2 所以R(A) 2 从而R(A) R(B) R(A B) 因此A组与B组等价
5 已知R(a1 a2 a3) 2 R(a2 a3 a4) 3 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示
(2) a4不能由a1 a2 a3线性表示
证明 (1)由R(a2 a3 a4) 3知a2 a3 a4线性无关 故a2 a3也线性无关 又由R(a1 a2 a3) 2知a1 a2 a3线性相关 故a1能由a2 a3线性表示
(2)假如a4能由a1 a2 a3线性表示 则因为a1能由a2 a3线性表示 故a4能由a2 a3线性表示 从而a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此a4不能由a1 a2 a3线性表示
6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) ( 1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T ( 1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为
??121?r??121?r??121?A??314?~?077?~?011??101??022??000???????
所以R(A) 2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为
2?10|B|?340?22?0002
所以R(B) 3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关
7 问a取什么值时下列向量组线性相关？
a1 (a 1 1)T a2 (1 a 1)T a3 (1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由
a11|A|?1a?1?a(a?1)(a?1)1?1a
知 当a 1、0、1时 R(A) 3 此时向量组线性相关
8 设a1 a2线性无关 a1 b a2 b线性相关 求向量b用a1 a2线性表示的表示式
解 因为a1 b a2 b线性相关 故存在不全为零的数 1 2使 1(a1 b) 2(a2 b) 0
b??由此得
?1???a1?2a2??1a1?(1?1)a2?1??2?1??2?1??2?1??2
c??设 则
b ca1 (1 c)a2 c R
9 设a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关 问a1 b1 a2 b2是否一定线性相关？试举例说明之 解 不一定
例如 当a1 (1 2)T, a2 (2 4)T, b1 ( 1 1)T, b2 (0 0)T时 有 a1 b1 (1 2)T b1 (0 1)T, a2 b2 (2 4)T (0 0)T (2 4)T 而a1 b1 a2 b2的对应分量不成比例 是线性无关的
10 举例说明下列各命题是错误的
(1)若向量组a1 a2 am是线性相关的 则a1可由a2 am线性
?1?1??2