高中数学第六章-不等式 考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：

（1）理解不等式的性质及其证明．

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．

（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

§06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不

等

（

等

）

号

的

定

义

：

a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.

（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质 （1）a?b?b?a（对称性） （2）a?b,b?c?a?c（传递性） （3）a?b?a?c?b?c（加法单调性） （4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减）

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（6）a.?b,c?0?ac?bc

（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）

（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

(9)a?b?0,0?c?d?ab?cd（异向不等式相除）

(10)a?b,ab?0?11（倒数关系） ?ab（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则） （12）a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）若a?R,则|a|?0,a2?0

（2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 ab?a?b（当仅当.2a=b时取等号）

极值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

(4)若a、b、c?R?,则a?b?c3?abc（当仅当3a=b=c时取等号）

ba(5)若ab?0,则??2（当仅当

aba=b时取等号）

|x|?a?x2?a2??a?x?a

(6)a?0时，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a; 第 46 页 共 237 页

（7）若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 4.几个著名不等式

（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么

a?ba2?b2（当?ab??.1122?ab2仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

2222a?ba?ba?ba?b22特别地，ab?(（当a = b时，()?)??ab）

2222a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等) 33??22?...?an??幂平均不等式：a12?a221(a1?a2?...?an)2 n注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2). 常用不等式的放缩法：①1?1?nn?111111?2???(n?2) n(n?1)nn(n?1)n?1n②n?1?n?1n?n?1?12n?1n?n?1?n?n?1(n?1)

,bn?R;则（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)?aaaa当且仅当1?2?3???n时取等号b1b2b3bn2(a1?a2?a32???an)(b122?b22?b32??bn)

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有

f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2) )?.22则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

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6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论； ②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 1○?f(x)?0????定义域 f(x)?g(x)??g(x)?0??f(x)?g(x)?2○

?f(x)?0?f(x)?0f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]

3○

?f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)

af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○

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