x2y2??1?y?0?. 其标准方程为c2a?c2?ca?c解法二：令P(acos?,bsin?)，则sin??0．三角形PF1F2的面积：

S?11?2c?bsin???2c?2a??r， 22其中r为内切圆的半径，解得r?bc?sin?a?c?yI.

另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：

?c?xI???xI?c??PF1?PF2?(a?ccos?)?(a?ccos?),

从而有xI?ccos?．消去θ得到点I的轨迹方程为：

x2y2??1?y?0?2. a?cc?c2a?c本题中：a?2,c?1，代入上式可得轨迹方程为：x?3y?1?y?0?.

2211111115．观察下列式子，ln2?，ln3??，ln4???，……，根据上述规律，第n个不等式

335357应该为__________．

111 【答案】ln?n?1????LL?352?n?1【解析】 【分析】

根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案． 【详解】

11解：根据题意，对于第一个不等式，ln2?，则有ln?1?1??，

32?1?11111?，则有ln?2?1???，

32?2?135111111对于第三个不等式，ln4???，则有ln?2?1????，

352?3?1357对于第二个不等式，ln3?依此类推：

111第n个不等式为：ln?n?1????LL?，

352?n?1111故答案为ln?n?1????LL?．

352?n?1【点睛】

本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．

16．函数f（x）＝x2﹣xlnx的图象在x＝1处的切线方程为_____.

【答案】x﹣y＝0. 【解析】 【分析】

先将x＝1代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程. 【详解】

由题意得f?(x)?2x?lnx?1,f?(1)?1,f(1)?1. 故切线方程为y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0. 故答案为：x﹣y＝0. 【点睛】

本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程（组）是关键.同时也考查了学生的运算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A，B两种，且这两种的个体数量大致相等，记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长（单位：mm）分别为随机变量X，Y，其中X服从正态分布N?45,25?，Y服从正态分布N?55,25?.

（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间?45,55?的概率；

2（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z，若用正态分布N?0,?0来近似描述Z的分布，请你根据（Ⅰ）

??中的结果，求参数?0和?0的值（精确到0.1）；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间?42.2,57.8?的个数为W，求W的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）. 注:若X~N?,??2?，则P(??0.64??X???0.64?)?0.4773，P(????X????)?0.6827，

P(??2??X???2?)?0.9546.

【答案】（Ⅰ）0.4773；（Ⅱ）?0?50.0，?0?7.8；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由题知这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的，所以

11P?45?t?55???P?45?X?55???P?45?Y?55?，代入数值运算即可；

2245?55?50.0，再结合（1）和题干备注信息可得（Ⅱ）可判断均值应为?0?245??0?0.64?0,55??0?0.64?0，进而求解；

（Ⅲ）求得P(42.2?T?57.8)?P(????T????)?0.6827，该分布符合二项分布，故W~B?3,0.6827?，列出分布列，计算出对应概率，结合E?W??np即可求解； 【详解】

（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为t.

因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的.

11所以P?45?t?55???P?45?X?55???P?45?Y?55?

2211??P?45?X?45?2?5???P?55?2?5?Y?55? 2210.954610.9546?????0.4773. 2222（Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等，X，Y的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知

?0?45?55?50.0 25?7.8. 0.64由（Ⅰ）可知45??0?0.64?0,55??0?0.64?0，得?0?（Ⅲ）设蜻蜓的翼长为T，则P(42.2?T?57.8)?P(????T????)?0.6827.

kk3?k由题有W~B?3,0.6827?，所以P?W?k??C3?0.6827?0.317.

因此W的分布列为

W P 0 1 1C30.68271?0.31732 2 C320.68272?0.31731 3 3C30.68273 C300.31733 E?W??3?0.6827?2.0481. 【点睛】

本题考查正态分布基本量的求解，二项分布求解离散型随机变量分布列和期望，属于中档题

18．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C1的普通方

??x?3cos?.程为(x-1) +y =1，曲线C2的参数方程为?（θ为参数）.

??y?2sin?2

2

（Ⅰ）求曲线C1和C2的极坐标方程： （Ⅱ）设射线θ=

?(ρ>0)分别与曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|的值． 62222【答案】（Ⅰ）??2cos??0，2?cos??3?sin??6?0;（Ⅱ）|AB|?3?26 3【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据??x?y,x??cos?,y??sin?，可得曲线C1的极坐标方程，然后先计算曲线C2的普

222通方程，最后根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果. （Ⅱ）将射线θ=果. 【详解】

（Ⅰ）?x?1??y2?1?x2?y2?2x?0

222由??x?y,x??cos?,y??sin?

?分别与曲线C1和C2极坐标方程联立，可得A，B的极坐标，然后简单计算，可得结62所以曲线C1的极坐标方程为??2cos??0， 曲线C2的普通方程为2x?3y?6?0

则曲线C2的极坐标方程为2?cos??3?sin??6?0 （Ⅱ）令??222223???????(??0)，则A??1,?，B??2,?，

6?6?6???3?22sin2则2?2cos22?6?6?6?0，即9?22?24，

所以|OB|??2??26，|OA|??1?2cos?3，

633?26． 3故|AB|?|OA|?|OB|?【点睛】

本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中?的几何意义，属基础题. 19．已知函数f?x??x??a?2?x?alnx（a为实常数）.

2（1）讨论函数f?x?在?1,e?上的单调性；

（2）若存在x?1,e，使得f?x??0成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）a??1 【解析】 【分析】

（1）分类讨论a的值，利用导数证明单调性即可；

（2）利用导数分别得出a?2，2?a?2e，a?2e时，f?x?的最小值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】

2a2x??a?2?x?a?2x?a??x?1?（1）f'?x??2x??a?2???，x??1,e?. ?xxx??