21

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设2

x＝3

y＝5

z>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。

??x??2?2t2. （理）直线?上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。

??y?3?2t （文）若k<－1，则圆锥曲线x

2－ky

2＝1的离心率是_________。

3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z

2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。

4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。

5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)

x26. 椭圆

16＋

y24＝1上的点到直线x＋2y－

2＝0的最大距离是_____。

A. 3 B. 【简解】1小题：设2

11 C. 10 D. 22

x＝3

y＝5

z＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；

2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±

2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝1?1，所以e＝－k1kk2?k；

3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b

2＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；

4小题：设三条侧棱x、y、z，则

111xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。 2225小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；

6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝

|4sin??4cos??2|的最大值，选C。

52＋b

Ⅱ、示范性题组： 例1.

实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a

2＋c

2的最小值。

【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝求。

111222＋t1，b＝＋t2，c＝＋t3，代入a＋b＋c可333111＋t1，b＝＋t2，c＝＋t，其中t1＋t2＋t3＝0， 333311112222222∴ a＋b＋c＝（＋t1）＋（＋t2）＋(＋t3)＝＋(t＋t＋t)＋t

333331231122＋t2＋t3≥

31222所以a＋b＋c的最小值是。

3【解】由a＋b＋c＝1，设a＝

2＋t22＋t32＝

1＋t312 21

22

【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。 本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a即a

2＋b

2＋c

2＝(a＋b＋c)

2－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a

2＋b

2＋c

2)，

2＋b

2＋c

2≥

1。 3＋

两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。

例2.

x2椭圆

162y242＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若kOP2kOQ＝－等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

1 ， 4 ①．求证：|OP|＋|OQ|

?x?4cosθ【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设??y?2sinθ出一个结论，再计算|OP|

（椭圆参数方程），参数θ1、θ2为P、Q两点，先计算kOP2kOQ得

2＋|OQ|

2，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。

?x?4cosθ＋＝1，设?，P(4cosθ1,2sinθ

y?2sinθ?12sin?12sin?2则kOP2kOQ＝＝－，整理得到： ?

44cos?14cos?2x2【解】由

16y241)，Q(4cosθ2,2sinθ2),

cosθ1 cosθ2＋sinθ1 sinθ2＝0,即cos（θ1－θ2）＝0。 ∴ |OP|

2＋|OQ|

2＝16cos

2θ1＋4sin

2θ1＋16cos

2θ2＋4sin

2θ2＝8＋12(cos

2θ1＋cos

2θ2)＝20＋6（cos2θ1＋cos2θ2)

＝20＋12cos（θ1＋θ2）cos（θ1－θ2）＝20，

即|OP|

2＋|OQ|

2等于定值20。

?xM?2(cos?1?cos?2)由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为?，

y?sin??sin?12?Mx22所以有()＋y＝2＋2(cosθ1 cosθ2＋sinθ1 sinθ2)＝2,

2x2y2即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。

82【注】由椭圆方程，联想到a

2＋b

2＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练

使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ1＋ cosθ2）sinθ2）

2＋（sinθ1＋

2，这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为

一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。

本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求： 设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－

14k，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：

?x2?4y2?16?0422，消y得(1＋4k)x＝16,即|xP|＝； ?2y?kx1?4k??x2?4y2?16?012|8k|?，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝?12Q4ky??x1?4k2?4k?

；

22

23

所以|OP|

2＋|OQ|

2＝(

1?k2?

2＋|OQ|

41?4k22)

2＋（

1?|8k|1?16k21?4k2）

2

20?80k2＝

1?4k2＝20。即|OP|等于定值20。

在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝

1?kAB2?|xA－xB|求|OP|和|OQ|的长。

S

例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cos

2β。

【分析】要证明cosα=-cos利用有关定理求解。

2β，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中

E D C 【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。

设BC＝a (为参数)， 则SF＝

OFcosβ＝

a2cosβ,

O F A B

SC＝

SF2?FC2＝

(aa)2?()22cosβ2

a1?cos2β

2cosβSF2BCa2又 ∵BE＝＝?

SC2cosβ＝

1a1?cos2?2cos?＝

a1?cos?2

a22??2a22222BE?BD1?cos?在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝

2BE2a22?1?cos2?所以cosα＝－cos

＝－cos

2β。

2β。

【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。 Ⅲ、巩固性题组：

1. 已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。 2. 函数y＝x＋2＋

1?4x?x2的值域是________________。

2θ与x轴两个交点距离的最大值为

3. 抛物线y＝x

2－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sin

_____

A. 5 B. 10 C. 2

3 D. 3

4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L1：x－3y＋10＝0及L2：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。 5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。

a2cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。 22(a2?1)3＋lg2(a2?1)＋lg2a＝0有模为1的虚根，求实数a的值及方程的根。

7. 若关于x的方程2x＋xlg

a2?12a8a36. f(x)＝(1－

23

24

28. 给定的抛物线y＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有

1|MP|2＋

1|MQ|2为定值。

七、反证法

与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

Ⅰ、再现性题组：

1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。

A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根 2. 已知a<0,－1

A. a>ab> ab

2之间的大小关系是_____。

2 B. ab

2>ab>a C. ab>a> ab

2 D. ab> ab

2>a

3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。

A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交 C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交 4.

四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。(97年全国理) A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种

【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A； 2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D； 3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；

4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C10－C634－3－6,选D。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。

【证明】 假设AC⊥平面SOB，

∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO， ∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB，

∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O，

A O B S

C 44 24