所以函数f(x)的单调递增区间为（0，+?). （4） 当a?1时，0?1?1, a令f?(x)?0，解得0?x?1或x?1，则函数f(x)的单调递增区间为 a1（，1+?)； （0，)，a11?x?1，则函数f(x)的单调递减区间为(，1). aa11所以函数f(x)的单调递增区间为单调递减区间为(，（，1+?)，（0，)，1).

aa令f?(x)?0，解得

…………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）依题意，在区间[,e]上f(x)min?1.

1eax2?(a?1)x?1(ax?1)(x?1)? f?(x)?，a?1.

x2x2 令f?(x)?0得，x?1或x?1. a 若a?e，则由f?(x)?0得，1?x?e，函数f(x)在(1,e)上单调递增. 由f?(x)?0得，

11?x?1,函数f(x)在(,1)上单调递减. ee 所以f(x)min?f(1)?a?1?1，满足条件； 若1?a?e，则由f?(x)?0得，

11?x?或1?x?e； ea 由f?(x)?0得，

1?x?1. a11ea1a 函数f(x)在(1,e),(,)上单调递增,在(,1)上单调递减. f(x)min?min{f(),f(1)}，

1e?e2?1?f()?1?a? 依题意?e ，即?e?1，所以2?a?e；

??a?2?f(1)?1?9

若a?1，则f?(x)?0.

所以f(x)在区间[,e]上单调递增，f(x)min?f()?1，不满足条件；

1e1e

综上，a?2. ……………………………………………13分

20. （本小题满分14分） 解：(Ⅰ)依题a?2?，c?2?2??2??，

所以椭圆C离心率为e??2??2.……………………………………………3分 2x0x22?y0y?1，得x?，则A(,0).

x0x02（Ⅱ）依题意x0?0，令y?0，由

令x?0，由

x0x11，则B(0,). ?y0y?1，得y?y0y02则?OAB的面积S?OAB?1121. OAOB??22x0y0x0y0x02x22?y?1上，所以?y02?1. 因为P(x0,y0)在椭圆C:22xyx0212?2. ?y02?200，即x0y0?所以1?，则xy22200所以S?OAB?11OAOB??2. 2x0y0x022?y02，即x0??1,y0??当且仅当时，?OAB面积的最小值为

222． ……………………………………………………………8分

2x0?0，解得?2??x0?2?. （Ⅲ）由2?1?2?2?2y0①当x0?0时，P(0,?),Q(??,2?),此时kF2P??1，kF2Q??1. 因为kF2Q?kF2P，所以三点Q,P,F2共线. 当P(0,??)时，也满足.

10

②当x0?0时，设Q(m,n)，m???,F1Q的中点为M，则M(的方程，得：

m??n,),代入直线l22x0m?2y0n?x0??4?2?0.

设直线F1Q的斜率为k，则k?所以2y0m?x0n?2y0??0.

2?x0m?2y0n?x0??4?2?02x0??4x0?24x0y0??8y0?2由?，解得m?. ??，n?22224y0?x04y0?x0?2y0m?x0n?2y0??022x0??4x0?24x0y0??8y0?2所以Q(??,). 22224y0?x04y0?x02yn?0， m??x0当点P的横坐标与点F2的横坐标相等时，把x0??，y?20?22代入

22x0??4x0?2m???中得m??，则Q,P,F2三点共线. 224y0?x0当点P的横坐标与点F2的横坐标不相等时, 直线F2P的斜率为kF2P?y0. x0??由?2??x0?2?，x0??2?.

所以直线F2Q的斜率为kF2Q4x0y0??8y0?2224y0?x04x0y0??8y0?2 ??222x02??4x0?22x02??4x0?2?8y0??2x0??2?224y0?x04x0y0??8y0?2x0y0?2y0?y0(x0?2?) ???222224x0??8y0?x0??2y0x0??x0?2??y0(x0?2?)y0?.

(x0??)(x0?2?)x0??因为kF2Q?kF2P，所以Q,P,F2三点共线.

综上所述Q,P,F2三点共线. ……………………………………………………………14分

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