11．Res[z2e（A）?1z?i,i]? ( )

1515?i （B）??i （C）?i （D）?i 666612．下列命题中，不正确的是( )

（A）若z0(??)是f(z)的可去奇点或解析点，则Res[f(z),z0]?0 （B）若P(z)与Q(z)在z0解析，z0为Q(z)的一级零点，则Res[（C）若

P(z0)P(z),z0]? Q(z)Q?(z0)z0为

f(z)的m级极点，n?m为自然数，则

1dnRes[f(z),z0]?limn[(z?z0)n?1f(z)]

n!x?x0dz（D）如果无穷远点?为f(z)的一级极点，则z?0为f()的一级极点，并且

1z1Res[f(z),?]?limzf()

z?0z13．设n?1为正整数，则

1dz?( ) ?nz?2z?12?i （D）2n?i n(A)0 （B）2?i （C）

14．积分

?z?32z9dz?( ) 10z?1（A）0 （B）2?i （C）10 （D）

?i 515．积分

12zsindz?( ) ?zz?1（A）0 （B）?二、填空题

?i1 （C）? （D）??i

361．设z?0为函数z3?sinz3的m级零点，那么m? ． 2．函数f(z)?11cosz在其孤立奇点zk?1k???2(k?0,?1,?2,??)处的留数

Res[f(z),zk]? ．

3．设函数f(z)?exp{z?21}，则Res[f(z),0]? z2f?(z),a]? ． f(z)4．设z?a为函数f(z)的m级极点，那么Res[5．双曲正切函数tanhz在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设f(z)?2z，则Res[f(z),?]? ． 1?z21?cosz，则Res[f(z),0]? ． 5z7．设f(z)?8．积分

z?1?z3edz? ．

1z9．积分

1dz? ． ?sinzz?1??xeixdx? ． 10．积分???1?x2三、计算积分

z?zsinz?1(ez?1?z)2dz．

4四、利用留数计算积分

???0d?a2?sin2?(a?0)

五、利用留数计算积分

????x2?x?2dx 42x?10x?9六、利用留数计算下列积分： １．

???0??cos(x?1)xsinxcos2xdxdx ２．?22??x?1x?1七、设a为f(z)的孤立奇点，m为正整数，试证a为f(z)的m级极点的充要条件是

lim(z?a)mf(z)?b，其中b?0为有限数．

z?a八、设a为f(z)的孤立奇点，试证：若f(z)是奇函数，则Res[f(z),a]?Res[f(z),?a]；若f(z)是偶函数，则Res[f(z),a]??Res[f(z),?a]． 九、设f(z)以a为简单极点，且在a处的留数为A，证明limz?af?(z)1?f(z)2?1. A十、若函数?(z)在z?1上解析，当z为实数时，?(z)取实数而且?(0)?0，f(x,y)表示

2??(x?iy)的虚部，试证明?0tsin?f(cos?,sin?)d????(t)

1?2tcos??t2(?1?t?1)

第六章 共形映射

一、选择题：

21．若函数w?z?2z构成的映射将z平面上区域G缩小，那么该区域G是 ( )

（A）z?1111 （B）z?1? （C）z? （D）z?1? 22222．映射w?3z?i在z0?2i处的旋转角为( ) z?i（A）0 （B）

iz2?? （C）? （D）? 223．映射w?e在点z0?i处的伸缩率为( )

（A）1 （B）2 (C)e?1 （D）e

?4．在映射w?iz?e(A)Re(w)?4i下，区域Im(z)?0的像为( )

22 （B）Re(w)?? 2222 （D）Im(w)?? 22（C）Im(z)?5．下列命题中，正确的是( )

（A）w?zn在复平面上处处保角（此处n为自然数） （B）映射w?z?4z在z?0处的伸缩率为零

（C） 若w?f1(z)与w?f2(z)是同时把单位圆z?1映射到上半平面Im(w)?0的分式线性变换，那么f1(z)?f2(z)

（D）函数w?z构成的映射属于第二类保角映射 6．1?i关于圆周(x?2)?(y?1)?4的对称点是( )

（A）6?i （B）4?i （C）?2?i （D）i

223