m?( )

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 二、填空题 1．若幂级数

?cn?0?n(z?i)n在z?i处发散，那么该级数在z?2处的收敛性

为 ． 2．设幂级数

?cn?0?nz与?[Re(cn)]zn的收敛半径分别为R1和R2，那么R1与R2之间的关

nn?0?系是 ． 3．幂级数

?(2i)n?0?nz2n?1的收敛半径R? 4．设f(z)在区域D内解析，z0为内的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，那么当z?z0?d时，f(z)??cn?0?n(z?z)成立，其中cn? ． n05．函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数

?cn?0?nz的收敛半径为R，那么幂级数

n?(2n?0?n?1)cnzn的收敛半径

为 ．

?1znn?(?1)(1?)的收敛域为 ． 7．双边幂级数?(?1)?22(z?2)n?1n?1n?8．函数e?e在0?z???内洛朗展开式为 ． 9．设函数cotz在原点的去心邻域0?z?R内的洛朗展开式为收敛域的外半径R? ．

z1zn????c?nzn，那么该洛朗级数

10．函数

1在1?z?i???内的洛朗展开式为 ．

z(z?i)?1三、若函数在z?0处的泰勒展开式为?anzn，则称?an?为菲波那契(Fibonacci)21?z?zn?0数列，试确定an满足的递推关系式，并明确给出an的表达式． 四、试证明 1．e?1?ezz?1?zez(z???);

(z?1);

2．(3?e)z?ez?1?(e?1)z五、设函数f(z)在圆域z?R内解析，Sn??k?0nf(k)(0)kz试证 k!11．Sn(z)?2?i???r?n?1?zn?1d?f(?)??z?n?1f(?)d??n?1(??z)??r??(z?r?R).

zn?12．f(z）?Sn(z)?2?i?2n(z?r?R)。

n2六、设幂级数?nz的和函数，并计算?n之值.

n?12n?1七、设f(z)???an?0?nz(z?R1),g(z)??bnzn(z?R2)，则对任意的r(0?r?R1)，在

nn?0?z?rR2内?anbnzn?n?012?i??r?zd?f(?)g()。

??2n八、设在z?R内解析的函数f(z)有泰勒展开式f(z)?a0?a1z?a2z???anz??

1试证当0?r?R时

2??2?0f(re)d???anr2n.

i?n?02?2九、将函数

ln(2?z)在0?z?1?1内展开成洛朗级数.

z(z?1)十、试证在0?z???内下列展开式成立：

z?1ze?c0??cn(zn?n?1?11c?其中)n?zn??0e2cos?cosn?d?(n?0,1,2,?).

第五章 留 数

一、选择题： 1．函数

cot?z在z?i?2内的奇点个数为 ( )

2z?3（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a为函数f(z)g(z) 的( )

（A）可去奇点 （B）本性奇点 （C）m级极点 （D）小于m级的极点

1?ex3．设z?0为函数4的m级极点，那么m?( )

zsinz（A）5 （B）4 (C)3 （D）2 4．z?1是函数(z?1)sin21的( ) z?1(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 一级零点 （D）本性奇点

3?2z?z35．z??是函数的( )

z2(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 二级极点 （D）本性奇点 6．设f(z)??anzn在z?R内解析，k为正整数，那么Res[n?0?f(z),0]?( ) zk（A）ak （B）k!ak （C）ak?1 （D）(k?1)!ak?1 7．设z?a为解析函数f(z)的m级零点，那么( )

(A)m （B）?m （C） m?1 （D）?(m?1) 8．在下列函数中，Res[f(z),0]?0的是（ ）

ez?1sinz1（A） f(z)? （B）f(z)??

zzz2（C）f(z)?sinz?cosz11? (D) f(z)?zze?1z9．下列命题中，正确的是( ) （A） 设f(z)?(z?z0)极点．

（B） 如果无穷远点?是函数f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),?]?0 （C） 若z?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Res[f(z),0]?0 （D） 若

?m?(z)，?(z)在z0点解析，m为自然数，则z0为f(z)的m级

?f(z)dz?0，则f(z)在c内无奇点

c310． Res[zcos2i,?]? ( ) z（A）?2222 （B） （C）i （D）?i

3333