复变函数试题与答案 下载本文

m?( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题 1.若幂级数

?cn?0?n(z?i)n在z?i处发散,那么该级数在z?2处的收敛性

为 . 2.设幂级数

?cn?0?nz与?[Re(cn)]zn的收敛半径分别为R1和R2,那么R1与R2之间的关

nn?0?系是 . 3.幂级数

?(2i)n?0?nz2n?1的收敛半径R? 4.设f(z)在区域D内解析,z0为内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,那么当z?z0?d时,f(z)??cn?0?n(z?z)成立,其中cn? . n05.函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 . 6.设幂级数

?cn?0?nz的收敛半径为R,那么幂级数

n?(2n?0?n?1)cnzn的收敛半径

为 .

?1znn?(?1)(1?)的收敛域为 . 7.双边幂级数?(?1)?22(z?2)n?1n?1n?8.函数e?e在0?z???内洛朗展开式为 . 9.设函数cotz在原点的去心邻域0?z?R内的洛朗展开式为收敛域的外半径R? .

z1zn????c?nzn,那么该洛朗级数

10.函数

1在1?z?i???内的洛朗展开式为 .

z(z?i)?1三、若函数在z?0处的泰勒展开式为?anzn,则称?an?为菲波那契(Fibonacci)21?z?zn?0数列,试确定an满足的递推关系式,并明确给出an的表达式. 四、试证明 1.e?1?ezz?1?zez(z???);

(z?1);

2.(3?e)z?ez?1?(e?1)z五、设函数f(z)在圆域z?R内解析,Sn??k?0nf(k)(0)kz试证 k!11.Sn(z)?2?i???r?n?1?zn?1d?f(?)??z?n?1f(?)d??n?1(??z)??r??(z?r?R).

zn?12.f(z)?Sn(z)?2?i?2n(z?r?R)。

n2六、设幂级数?nz的和函数,并计算?n之值.

n?12n?1七、设f(z)???an?0?nz(z?R1),g(z)??bnzn(z?R2),则对任意的r(0?r?R1),在

nn?0?z?rR2内?anbnzn?n?012?i??r?zd?f(?)g()。

??2n八、设在z?R内解析的函数f(z)有泰勒展开式f(z)?a0?a1z?a2z???anz??

1试证当0?r?R时

2??2?0f(re)d???anr2n.

i?n?02?2九、将函数

ln(2?z)在0?z?1?1内展开成洛朗级数.

z(z?1)十、试证在0?z???内下列展开式成立:

z?1ze?c0??cn(zn?n?1?11c?其中)n?zn??0e2cos?cosn?d?(n?0,1,2,?).

第五章 留 数

一、选择题: 1.函数

cot?z在z?i?2内的奇点个数为 ( )

2z?3(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2.设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点,则z?a为函数f(z)g(z) 的( )

(A)可去奇点 (B)本性奇点 (C)m级极点 (D)小于m级的极点

1?ex3.设z?0为函数4的m级极点,那么m?( )

zsinz(A)5 (B)4 (C)3 (D)2 4.z?1是函数(z?1)sin21的( ) z?1(A)可去奇点 (B)一级极点 (C) 一级零点 (D)本性奇点

3?2z?z35.z??是函数的( )

z2(A)可去奇点 (B)一级极点 (C) 二级极点 (D)本性奇点 6.设f(z)??anzn在z?R内解析,k为正整数,那么Res[n?0?f(z),0]?( ) zk(A)ak (B)k!ak (C)ak?1 (D)(k?1)!ak?1 7.设z?a为解析函数f(z)的m级零点,那么( )

(A)m (B)?m (C) m?1 (D)?(m?1) 8.在下列函数中,Res[f(z),0]?0的是( )

ez?1sinz1(A) f(z)? (B)f(z)??

zzz2(C)f(z)?sinz?cosz11? (D) f(z)?zze?1z9.下列命题中,正确的是( ) (A) 设f(z)?(z?z0)极点.

(B) 如果无穷远点?是函数f(z)的可去奇点,那么Res[f(z),?]?0 (C) 若z?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点,则Res[f(z),0]?0 (D) 若

?m?(z),?(z)在z0点解析,m为自然数,则z0为f(z)的m级

?f(z)dz?0,则f(z)在c内无奇点

c310. Res[zcos2i,?]? ( ) z(A)?2222 (B) (C)i (D)?i

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