20XX年全国各地中考试题压轴题精选全解之一
1（北京市）25．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上， 设CD，BE相交于点O，若?A?60°，?DCB??EBC?请你写出图中一个与?A相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形；
（3）在△ABC中，如果?A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且
A
D O C
1?A． 2E
B 1?DCB??EBC??A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明
2你的结论．
解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）． （2）答：与?A相等的角是?BOD（或?COE）． 四边形DBCE是等对边四边形．
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．
证法一：如图1，作CG?BE于G点，作BF?CD交CD延长线于F点． 因为?DCB??EBC?1?A，BC为公共边， 2A
F D B 图1
所以△BCF≌△CBG． 所以BF?CG．
因为?BDF??ABE??EBC??DCB，
E
O G
C
?BEC??ABE??A，
所以?BDF??BEC． 可证△BDF≌△CEG． 所以BD?CE．
所以四边形DBCE是等边四边形．
证法二：如图2，以C为顶点作?FCB??DBC，CF交BE于F点． 因为?DCB??EBC?1?A，BC为公共边， 2A
D O E F C
B 所以△BDC≌△CFB．
所以BD?CF，?BDC??CFB． 所以?ADC??CFE．
因为?ADC??DCB??EBC??ABE，
?FEC??A??ABE，
所以?ADC??FEC． 所以?FEC??CFE． 所以CF?CE． 所以BD?CE．
所以四边形DBCE是等边四边形．
说明：当AB?AC时，BD?CE仍成立．只有此证法，只给1分．
2（上海市）25.已知：∠MAN?60，点B在射线AM上，AB?4（如图10）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是
△BPQ的外心．
（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；
（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP?x，
ACAO?y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点D在射线AN上，AD?2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．
A A P B M O Q 图10
P B N M O Q 备用图
N
（1）证明：如图4，连结OB，OP，
O是等边三角形BPQ的外心，?OB?OP，
圆心角?BOP?360?120． 3当OB不垂直于AM时，作OH?AM，OT?AN，垂足分别为H，T． 由?HOT??A??AHO??ATO?360，且?A?60，
?AHO??ATO?90，??HOT?120．
??BOH??POT． ?Rt△BOH≌Rt△POT．
?OH?OT．?点O在?MAN的平分线上．
当OB?AM时，?APO?360??A??BOP??OBA?90． 即OP?AN，?点O在?MAN的平分线上．
综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在?MAN的平分线上．
A H B M
图4
（2）解：如图5，
A P T C P O Q B N
O Q M
图5
N
AO平分?MAN，且?MAN?60，
??BAO??PAO?30．
由（1）知，OB?OP，?BOP?120，
??CBO?30，??CBO??PAC．
?BCO??PCA，??AOB??APC． ?△ABO∽△ACP． ?ABAO．?ACAO?ABAP．?y?4x． ?ACAP定义域为：x?0．
（3）解：①如图6，当BP与圆I相切时，AO?23； ②如图7，当BP与圆I相切时，AO?43； 3③如图8，当BQ与圆I相切时，AO?0．
(D) I P A P(A)
P Q (A) O D I Q
I B D O B M
O Q 图6
N
M
图7
2N
B M
图8
N
3（天津市）26. 已知关于x的一元二次方程x?bx?c?x有两个实数根x1,x2，且满足
x1?0，x2?x1?1。
（1）试证明c?0； （2）证明b?2(b?2c)；
（3）对于二次函数y?x?bx?c，若自变量取值为x0，其对应的函数值为y0，则当0?x0?x1时，试比较y0与x1的大小。
解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式 即x?(b?1)x?c?0 ∵x1,x2是该方程的两个实数根 ∴x1?x2??(b?1)，x1?x2?c 而x1?0,x2?x1?1?0∴c?0 （2）(x2?x1)?(x2?x1)?4x1x2
22222?(b?1)2?4c?b2?2b?4c?1
∵x2?x1?1∴(x2?x1)?1
2