O点总磁感应强度为 B?B1?B2?B3?3?0I2?0I． ?8a4?bθ2 [讨论]（1）假设圆弧张角为φ，电流在半径为a的圆心处产生的磁感应强度为

?IB?0?．

4?a（2）有限长直导线产生的磁感应大小为 B??0I(cos?1?cos?2)． 4?b对于AC段，θ1 = π/2、θ2 = 3π/4；对于CD段，θ1 = π/4、θ2 = π/2，都可得

I b θ1 B B2?B3?

2?0I．上述公式可以直接引用． 8?b14．5 如图所示的载流导线，图中半圆的的半径为R，直线部分伸向无限远处．求圆心O处的磁感应强度B = ？

[解答]在直线磁场公式

Z ?0IB?(cos?1?cos?2)中，

4?R令θ1 = 0、θ2 = π/2，或者θ1 = π/2、θ2 = π，就得半无限长导线在端点半径为R的圆周上产生的磁感应强度 B??0I．

4?R两无限长半直线在O点产生的磁场方向都向着-Z方向，大小为Bz = μ0I/2πR． 半圆在O处产生的磁场方向沿着-X方向，大小为Bx = μ0I/4R． O点的磁感应强度为

o I R Y X 图14.5 B??Bxi?Bzk??场强大小为

2Bx?Bz2??0I4Ri??0Ik． 2?R?0I4??2，

4?RBz2与X轴的夹角为 ??arctan ?arct．anBx?B?

14．6 如图所示的正方形线圈ABCD，每边长为a，通有电流I．求正方形中心O处的磁感应强度B = ？

[解答]正方形每一边到O点的距离都是a/2，在O点产生的磁场大小相等、方向相同．以AD边为例，利用直线电流的磁场公式：

A D ?0II B?(cos?1?cos?2)，

4?R令θ1 = π/4、θ2 = 3π/4、R = a/2，AD在O产生的场强为 O B C BAD?2?0I， 2?aO点的磁感应强度为 B?4BAD22?0I， ??a图14.6 方向垂直纸面向里．

14．7 两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆心间距离O1O2 = R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场． 2a [证明]方法一：用二阶导数．一个半径为R的环电流在离圆心为x的轴线

I I x 上产生的磁感应强度大小为：

?0IR2O1C O O2C x ． B?2(R2?x2)3/2 RB RB 图14.7

设两线圈相距为2a，以O点为原点建立坐标，两线圈在x点产生的场强分别为

B1??0IR22[R?(a?x)]223/2， B2??0IR22[R?a(?x)]223/2．

方向相同，总场强为B = B1 + B2．

一个线圈产生的磁场的曲线是凸状，两边各有一个拐点．两个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距太近，其曲线就是更高的凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会下凹，与两边的峰之间各有一个拐点．当它们由远而近到最适当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀，而拐点处的二阶导数为零．

设k = μ0IR2/2，则

11B?k{2?} 23/2223/2[R?(a?x)][R?(a?x)]B对x求一阶导数得

dBa?xa?x??3k{2?} 25/2225/2dx[R?(a?x)][R?(a?x)]求二阶导数得

d2BR2?4(a?x)2R2?4(a?x)2??3k{2?2}， 227/227/2dx[R?(a?x)][R?(a?x)]在x = 0处d2B/dx2 = 0，得R2 = 4a2，所以 2a = R． x = 0处的场强为 B?k8?0I162． ?k?223/23[R?(R/2)]55R55R方法二：用二项式展开．将B1展开得

2[R2?a2?2ax?x2]3/2?0IR22ax?x2?3/2设k?，则 B1?k(1?2)．

R?a22(R2?a2)3/2?2ax?x2?3/2同理，B2?k(1?)．

R2?a2nB1??0IR2?0IR2． ?223/22223/22(R?a)[1?(2ax?x)/(R?a)]1nx?当x很小时，二项式展开公式为 (1?x)??将B1和B2按二项式展开，保留二次项，总场强为

n(n?1)2x?．... 1?2?32ax?x21?3?52ax?x22?3?2ax?x2B?k[1??2????(2)?...]?k[1??2? 2222R?a1?222R?a2R?a1?3?5?2ax?x22???()?...] 1?222R2?a2?3x2?3?54a2x2?2k[1??? ???2?...]

2R2?a224(R?a2)2?3R2?4a22?2k[1??2x?...] 222(R?a)令R2 - 4a2 = 0，即a = R/2，得

B?2k??0IR2(R2?a2)3/2?85?0I， 25Ri o R 可知：O点附近为匀强磁场．

14．8 将半径为R的无限长导体圆柱面，沿轴向割去一宽为h(h<

h o` 图14.8`

后，沿轴向均匀地通有电流，面密度为i，求轴线上的磁感应强度B = ？

[解答]方法一：补缺法．导体圆柱面可看作由很多无限长直导线组成，如果补上长缝，由于对称的缘故，电流在轴线上产生的磁感应强度为零．割去长缝，等效于同时加上两个大小相等，方向相反的电流，其中，与i相同的电流补上了长缝，与i相反的电流大小为I = ih．

在轴线上产生的磁感应强度为 B??0I?0ih． ?2?R2?R方法二：积分法．在导体的截面上建立坐标，x坐标轴平分角α，α = h/R． 电流垂直纸面向外，在圆弧上取一线元 ds = Rdθ， 无限长直线电流为 dI = ids = iRdθ，

?dI?i在轴线产生的磁感应强度大小为 dB?0?0d?，

2?R2?两个分量分别为

y ds R θ dBx o α x dBy dB ?0isin?d?， 2??idBy??dBcos???0cos?d?．

2?dBx?dBsin??积分得

?0i2???/2?0iBx?sin?d???cos?2???2?/22???/2???/2?0i[cos(2???/2)?cos(?/2)]?0； 2?2???/2?0i?0i2???/2?0i??[sin(2???/2)?sin(?/2)] By??cos?d???sin??2?2??/22??/2?i?ih??i?02sin?0??0． 2?22?2?RBy的方向沿着y方向．By的大小和方向正是无限长直线电流ih产生的磁感应强度．

14．9 在半径为R = 1.0cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I=5.0A，如图所示．

求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B = ？

[解答]取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外． 半圆的周长为 C = πR， 电流线密度为 i = I/C = IπR．

在半圆上取一线元dl = Rdφ代表无限长直导线的截面，电流元为 dI = idl = Idφ/π，

?， 在轴线上产生的磁感应强度为 dB??0dI??0Idy 2?R2?2RdBy dB 方向与径向垂直．dB的两个分量为 φ R dBx = dBcosφ，dBy = dBsinφ．

??o1 dBx x ?0I?0Icos?d??2sin??0， 积分得 Bx? 2R I 图14.9 ?2?0R2?R0??I?IBy??02sin?d??02(?cos?)2?R2?R0??0?0I．

?2R由对称性也可知Bx = 0，所以磁感应强度 B = By = 6.4×10-5(T)，方向沿着y正向．

14．10 宽度为a的薄长金属板中通有电流I，电流沿薄板宽度方向均匀分布．求在薄板所在平面内距板的边缘为x的P点处的磁感应强度（如图所示）．

x P [解答]电流分布在薄板的表面上，单位长度上电流密度，即面电流的线密度为δ = I/a，

I a 以板的下边缘为原点，在薄板上取一宽度为dl的通电导线，电流强度为

图14.10

dI = δdl，

在P点产生磁感应强度为 dB??0dI?0?dl， ?2?r2?(x?a?l)a磁场方向垂直纸面向外．由于每根电流产生的磁场方向相同，总磁场为

o [讨论]当a趋于零时，薄板就变成直线，因此

?Iln(1?a/x)?IB?0?0，

2?xa/x2?x这就是直线电流产生的磁场强度的公式．

14．11 在半径为R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互平行，盖住半个球面，如图所示．设导线中电流为I，总匝数为N，求球心O处的磁感应强度B = ？

[解答]四分之一圆的弧长为 C = πR/2， 单位弧长上线圈匝数为 I n = N/C = 2N/πR． R O 在四分之一圆上取一弧元

dl = Rdθ，

图14.11 线圈匝数为 dN = ndl = nRdθ，

环电流大小为 dI = IdN = nIRdθ．

y 环电流的半径为 y = Rsinθ， 离O点的距离为 x = Rcosθ，

R 在O点产生的磁感应强度为 θ 2x dB o1 ?0NI?0ydI?0nI22 ， sin?d?dB??sin?d???R2R32 方向沿着x的反方向，积分得O点的磁感应强度为

????0ln(x?a?l)B??2?2?(x?a?l)0?Ia?0ln(1?)． 2?axa?0?dl

l?0Px a dl l dI I ?0NI?/22B?sin?d? ??R0?0NI?/2?0NI． ?(1?cos2?)d??2?R?4R0

R3 14．12 两个共面的平面带电圆环，其内外半径分别为R1、R2和R3、R4(R1

< R2 < R3 < R4)，外面圆环以每秒钟n2转的转速顺时针转动，里面圆环以每称n1R1 转逆时针转动，若两圆环电荷面密度均为ζ，求n1和n2的比值多大时，圆心处 2 R的磁感应强度为零． R4 [解答]半径为r的圆电流在圆心处产生的磁感应强度为 B = μ0I/2r．

在半径为R1和R2的环上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为dS = 2πrdr， 图14.12 所带的电量为 dq = ζdS = 2πζrdr， 圆环转动的周期为 T1 = 1/n1， 形成的电流元为 dI = dq/T1 = 2πn1ζrdr．

薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为 dB1 = μ0dI/2r = πμ0n1ζdr， 圆环在圆心产生磁感应强度为 B1 = πμ0n1ζ(R2-R1)．

同理，半径为R3和R4的圆环在圆心处产生的磁感应强度为 B2 = πμ0n2ζ(R4-R3)．

由于两环的转动方向相反，在圆心产生的磁感应强度也相反，当它们大小相同时，圆心处的磁感应强度为零，即： πμ0n1ζ(R2-R1) = πμ0n2ζ(R4-R3)，