在真空时的电容为 C0?2??0lq，所以倍数为C/C0 = ε/ε0． ?Uln(R2/R1)

13．11 在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：

（1）介质层内、外D、E、P的分布；

（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．

[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为

?d?蜒?D?dS?S?SDdS?4?r2D

高斯面包围的自由电荷为q = Q0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = Q0/4πr2，

方向沿着径向．用矢量表示为 D = Q0r/4πr3．

电场强度为 E = D/ε0εr = Q0r/4πε0εrr3，方向沿着径向．

Q0r．

?r4?r3在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以 D = Q0r/4πr3，E = Q0r/4πε0r3，P = 0．

（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为 E0 = Q0r/4πε0r3； 极化电荷q1`产生的场强为E` = q1`r/4πε0r3； 总场强为 E = Q0r/4πε0εrr3．

1`由于 E = E0 + E`，解得极化电荷为 q1?(?1)Q0， ?r由于 D = ε0E + P， 所以 P = D - ε0E = (1?1)`Q0q11介质层内表面的极化电荷面密度为 ??． ?(?1)224?R1?r4?R1`1``在介质层外表面，极化电荷为 q2， ??q1`q21Q0面密度为 ??． ?(1?)224?R2?r4?R2`2 13．12 两个电容器电容之比C1:C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？

[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q2/2C，得静电能之比为 W1:W2 = C2:C1 = 2:1．

两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU2/2，得静电能之比为 W1:W2 = C1:C2 = 1:2．

13．13 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U．将一块厚度为d相对介电常量为εr的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？

[解答]平行板电容器的电容为 C = ε0S/d，当面积减少一半时，电容为C1 = ε0S/2d；另一半插入电介质时，电容为C2 = ε0εrS/2d．两个电容器并联，总电容为 C = C1 + C2 = (1 + εr)ε0S/2d， 静电能为 W = CU2/2 = (1 + εr)ε0SU2/4d．

13．14 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr的液体中．求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．

[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为 C = (1 + εr)ε0S/2d．

（2）电容器充电前的电容为C0 = ε0S/d， 充电后所带电量为 Q = C0U． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为

W = Q2/2C = C02U2/2C = ε0SU2/(1 + εr)d．

（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C1 = ε0S/2d；介质中的一半的电容为 C2 = ε0εrS/2d．设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则

Q1 + Q2 = Q． ① 由于C = Q/U，所以

U = Q1/C1 = Q2/C2． ② 解联立方程得

Q1?C0UC1Q， ?C1?C21?C2/C1真空中一半电容器的自由电荷面密度为

?1?2C0U2?0UQ1． ??S/2(1?C2/C1)S(1??r)d2C0U2?0?rU． ?(C1/C2?1)S(1??r)d同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为

?2? 13．15 平行板电容器极板面积为200cm2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V的电源相连．求：

（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？

（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？ [解答]平行板电容器的电容为 C0 = ε0εrS/d，静电能为 W0 = C0U2/2． 玻璃板抽出之后的电容为 C = ε0S/d．

（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU2/2， 电能器能量变化为

ΔW = W - W0 = (C - C0)U2/2= (1 - εr)ε0SU2/2d = -3.18×10-5(J)．

（2）充电后所带电量为 Q = C0U，保持电量不变抽出玻璃板，静电能为

W = Q2/2C，

??SUC0C0U2电能器能量变化为?W?W?W0?(= 1.59×10-4(J)． ?(?r?1)0r?1)2dC2

13．16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b．试证明电容器能量的一半储存在半径R?ab的圆柱体内．

[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为 E = λ/2πε0r，能量密度为 w = ε0E2/2， 体积元为 dV = 2πrldr，能量元为 dW = wdV． 在半径a到R的圆柱体储存的能量为

2W??wdV??V?0V?2l?2lRdr?ln． EdV??24??0r4??0aa2R?2lb当R = b时，能量为W1?ln；

4??0a22?lb?lb当R?ab时，能量为W2?ln?ln，

4??0a8??0a所以W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存在半径R?ab的圆柱体内．

13．17 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时，求：

（1）在半径为r(a < r < b)、厚度为dr、长度为l的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？

（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？

（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？

[解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 λ = Q/l，

根据介质是高斯定理，可知电位移为 D = λ/2πr = Q/2πrl，场强为 E = D/ε = Q/2πεrl， 能量密度为w = D·E/2 = DE/2 = Q2/8π2εr2l2．薄壳的体积为dV = 2πrldr，能量为 dW = wdV = Q2dr/4πεlr．

（2）电介质中总能量为

Q2Q2bW??dW??dr?ln．

V4??lr4??laaQ22??l（3）由公式W = Q/2C得电容为 C?． ?2Wlnb(a/)2

b

13．18 两个电容器，分别标明为200PF/500V和300PF/900V．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V电压，是否会被击穿？

[解答]当两个电容串联时，由公式得 C?111C2?C1， ???CC1C2C1C2C1C2?120PF．

C1?C2加上U = 1000V的电压后，带电量为 Q = CU，

第一个电容器两端的电压为 U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)； 第二个电容器两端的电压为 U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)．

由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．

第十四章 稳恒磁场

14．1 充满εr = 2.1电介质的平行板电容器，由于电介质漏电，在3min内漏失一半电量，求电介质的电阻率．

q -q l[解答]设电容器的面积为S，两板间的距离为l，则电介质的电阻为 R??． S S设t时刻电容器带电量为q，则电荷面密度为 ζ = q/S，

两板间的场强为 E = ζ/ε =q/εrε0S， 电势差为 U = El =ql/εrε0S， 介质中的电流强度为 ?εr l dqU1??q，负号表示电容器上的电荷减少． dtR?0?r?tdq1微分方程可变为 ??dt，积分得 lnq???C，

?0?r?q?0?r?设t = 0时，q = qm，则得C = lnqm，因此电介质的电阻率的公式为

??t．

?0?rln(qm/q)180 =1.4×1013(Ω·m)． ?128.842?10?2.1?ln2 当t = 180s时，q = qm/2，电阻率为 ??

14．2 有一导线电阻R = 6Ω，其中通有电流，在下列两种情况下，通过总电量都是30C，求导线所产生的热量．

（1）在24s内有稳恒电流通过导线； （2）在24s内电流均匀地减少到零．

[解答]（1）稳恒电流为 I = q/t = 1.25(A)， 导线产生的热量为 Q = I2Rt = 225(J)．

（2）电流变化的方程为 i?2.5(1?1t)， 24由于在相等的时间内通过的电量是相等的，在i-t图中，在0~24秒内，变化电流和稳恒电流直线下的面积是相等的． i/A 2

在dt时间内导线产生的热量元为 dQ = iRdt，

2.5 在24s内导线产生的热量为

I 24241.25 122t/s Q?iRdt?[2.5(1?t)]Rdt

24o 24 00??11??2.5?6?24??(1?t)3324224=300(J)．

014．3 已知铜的相对原子质量A = 63.75，质量密度ρ = 8.9×103kg·m-3．

（1）技术上为了安全，铜线内电流密度不能超过6A·mm-2，求此时铜线内电子的漂移速度为多少？ （2）求T = 300K时，铜内电子热运动平均速度，它是漂移速度的多少倍？ [解答]（1）原子质量单位为 u = 1.66×10-27(kg)， 一个铜原子的质量为 m = Au = 1.058×10-25(kg)， 铜的原子数密度为 n = ρ/m = 8.41×1028(个·m-3)，

如果一个铜原子有一个自由电子，n也是自由电子数密度，因此自由电子的电荷密度为

ρe = ne = 1.34×1010(C·m-3)． 铜线内电流密度为 δ = 6×106(A·m-2)，

根据公式δ = ρev，得电子的漂移速度为 v = ρe/δ = 4.46×10-4(m·s-1)．

（2）将导体中的电子当气体分子，称为“电子气”，电子做热运动的平均速度为

v? 可得 v= 1.076×105(m·s-1)， 对漂移速度的倍数为 v/v = 2.437×108，

可见：电子的漂移速率远小于热运动的速度，其定向运动可认为是附加在热运动基础上的运动．

14．4 通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求圆心O处的磁感应强度B = ？

C A [解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨定I 0r， b 律：dB??0Idl?24?r圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为 O D ?0Idla dB1?， 由于 dl = adφ， 28kT?me其中k为玻尔兹曼常数k = 1.38×10-23J·K-1，me是电子的质量me = 9.11×10-31kg，

4?a3?/2积分得 B1??LdB1??0?0Id?3?0I． ?8a4?a图14.4 OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零．在AC段，电流元在O点产生的磁场为

C dB2?由于 l = bcot(π - θ) = -bcotθ， 所以 dl = bdθ/sin2θ；

又由于 r = b/sin(π - θ) = b/sinθ，

?Isin?d?可得 dB2?0，

4?b?0Idlsin?，

4?r2A l Idl θ r O a b D Idl ?I3?/4?Isin?d??0(?cos?)积分得B2??dB?0?4?b?/24?bL同理可得CD段在O点产生的磁场B3 = B2．

3?/4??/22?0I 8?b