式中Φ的单位为毫韦伯，t的单位为秒．求：

（1）在t = 2s时回路中的感生电动势为多少？

B （2）电阻上的电流方向如何？

[解答]（1）将磁通量的单位化为韦伯得

Φ = (3t2 + 2t + 1)/103，

感生电动势大小为

ε = |dΦ/dt| = 2(3t + 1)/103． R -2

t = 2s时的感生电动势为1.4×10(V)．

图16.7 （2）由于原磁场在增加，根据楞次定律，感应电流所产生的磁场的方向

与原磁场的方向相反，所以在线圈中感生电流的方向是逆时针的，从电阻的左边流向右边．

16．8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈，小线圈在大线圈上面．两线圈的距离为x，设x远大于圆半径R．大线圈中通有电流I时，若半径为r的小线圈中的磁场可看作是均匀的，且以速率v = dx/dt运动．求x = NR时，小线圈中的感应电动势为多少？感应电流的方向如何？

[解答]环电流在轴线上产生的磁感应强度为

B ?0IR2， B?r 223/22(x?R)当x>>R时，磁感应强度为 B?2

?0IR22x3．

x I o R 图16.8

小线圈的面积为S = πr，通过的磁通量为

??BS???0IR2r22x3，

d?3??0IR2r2v当小线圈运动时，感应电动势为???， ?4dt2x23??0Irv当x = NR时，感应电动势为??．

2N4R2

感应电流的磁场与原磁场的方向相同，感应电流的方向与原电流的环绕方向相同．

16．9 如图所示，匀强磁场B与矩形导线回路的法线n成θ = 60°角，B = kt（k为大于零的常数）．长为L的导体杆AB以匀速v向右平动，求回路中t时刻的感应电动势的大小和方向（设t = 0时，x = 0）． n B A [解答]经过时间t，导体杆运动的距离为x = vt，

θ 扫过的面积为 S = Lx = Lvt，

L v 通过此面积的磁通量为 Φ = B·S = BScosθ = Lvkt2/2．

感应电动势的大小为 ε = dΦ/dt = Lvkt． D B 由于回路中磁通量在增加，而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加，其磁场

图16.9 与原磁场的方向相反，所以感应电动势的方向是顺时针的．

16．10 长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按I = I0cosωt规律随时间变化，如图所示．求回路中的电动势ε． A B [解答]电流I在r处产生的磁感应强度为B?穿过面积元dS = bdr的磁通量为

?0I， 2?rB rx x d??BdS??0Ibdr， 2?rdrx v bx C 穿过矩形线圈ABCD的磁通量为

D a 图16.10

?0Ibx?a1?0Ibx?a??dr?ln()， ?2?xr2?x回路中的电动势为

????Ib?bx?aavcos?td?x?adI11dx??0[ln()?I(?)]?00[?ln()sin?t?]． dt2?xdtx?axdt2?xx(x?a) 显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电动势．

*

16．11 如图，一个矩形的金属线框，边长分别为a和b（b足够长）．金属线框的质量为m，自感系数为L，忽略电阻．线框的长边与x轴平行，它以速度v0沿x轴的方向从磁场外进入磁感应强度为B0的均匀磁场中，B0的方向垂直矩形线框平面．求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式v = v(t)和沿x轴方向移动的距离与时间的关系式x = x(t)．

[解答]由于b边很长，所以线框只有右边在做切割磁力线的运动．当线框速度为v时，产生的动生电动势为 ε = B0av． y 当线框中的电流为i时，产生的自感电动势的大小为 B0 bx div0 ?L?L．

ax dt根据欧姆定律得 ε + εL = iR，由于不计电阻，所以有

B0av?Ldi?0． ① dtdvm， dto 图16.11

x 右边所受的力为 F = iaB0，根据牛顿第二定律得 iaB0?

didv?m2， ② dtdtd2v(aB0)2联立①和②式得微分方程 ?v?0，

dt2mL微分得 aB0这是简谐振动的微分方程，其通解为

2v?AcosaB0mLt?BsinaB0mLt．

aB0(?AsinaB0mLt?BcosaB0mLt)，

当t = 0时，v = v0，所以A = v0．加速度at = dv/dt?mLaB0当t = 0时，at = 0，所以B = 0．速度方程为v?v0cost．

mL由于v = dx/dt，所以 x?vdt?v0cos??aB0mLttd?v0aBmLsin0t?C． aB0mLaB0mLsint． aB0mLa B 当t = 0时，x = 0，所以C = 0，所以位移方程为x?v0

16．12 如图所示的圆面积内，匀强磁场B的方向垂直于圆面积向里，圆半径R = 12cm，dB/dt = 10-2T·s-1．求图中a、b、c三点的涡旋电场为多少（b为圆心）？设ab = 10cm，bc = 15cm．

[解答]（1）当点在磁场之中时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环中，其周长为 C = 2πr， 面积为 S = πr2．

取环路的逆时针方向为正，根据右手螺旋法则，面积的法向方向垂直纸面向外。

r b R 图16.12

由于磁场增加，其变化率的方向与磁场方向相同，而感应电流的磁场与磁场增加的方向的方向相反，即垂直纸面向里，根据右手螺旋法则，涡旋电场的方向与环路方向相同，所以左边等于

?BE?dl??根据安培环路定理 ??Lk?S?t?dS，

r c 蜒?ELk?dl??LEkdl?Ek ?dl?Ek2?r．

L而磁感应强度的方向与面积的法向方向相反，所以右边等于

???BdBdB2?dS?dS??r． S?tdt?SdtrdB． 2dt因此涡旋电场为 Ek?对于a点，由于r = 0.1m，所以 Ek = 0.1×0.01/2 = 5×10-4(V·m-1)． 对于b点，由于r = 0， 所以Ek = 0．

（2）当点在磁场之外时，以b为圆心，以r为半径作一圆形环路．根据安培环路定理

??Ek?dl???L左边的积分仍然为Ek2πr．由于半径R之外的磁感应强度及其变化率为零，所以右边的大小为πR2dB/dt，

?B?dS， S?tR2dB因此涡旋电场为 Ek?．

2rdt对于c点，由于r = 0.15m，R = 0.12m，所以Ek = (0.12)2×0.01/2×0.15 = 4.8×10-4(V·m-1）．

16．13 两个共轴的导体圆筒称为电缆，其内、外半径分别为r1和r2，设电流由内筒流入，外筒流出，求长为l的一段电缆的自感系数（提示：按定义L = NΦ/I，本题中NΦ是图中阴影部分面积的磁通量）．

[解答]在内外半径之间，磁感应强度的大小为 B = μ0I/2πr， r2 其中r是场点到轴线之间的距离，B的方向是以轴线为中心的同心圆． o r1 在r处取一长为l的面积元dS = ldr，通过面积元的磁通量为 dΦ = BdS，

r2总磁通量为 ???r1?0I?Ilrldr?0ln2， 2?r2?r1?I?I I l 电缆的自感系数为 L??0lr2ln． 2?r1L?0r2?ln． l2?r1图16.13

[讨论]电缆单位长度的自感系数为 L0?

16．14 两个共轴圆线圈，半径分别为R和r，匝数分别为N1和N2，两者相距L．设小线圈的半径很小，小线圈处的磁场近似地可视为均匀，求两线圈的互感系数．

[解答]设大线圈中通以电流I1，N1匝线圈形成的环电流在轴线上产生的磁感应强度为

B??0N1I1R22(L?R)223/2，

B r 小线圈的面积为 S = πr2，

大线圈通过一匝小线圈的磁通量为 ??BS???0N1I1R2r22(L2?R2)3/2??0N1N2I1R2r2在小线圈中产生的全磁通为 ?21?N2??， 223/22(L?R)互感系数为 M?，

I1 o R L ?21I1???0N1N2R2r22(L2?R2)3/2图16.14

．

2??0N1N2r[讨论]当两线圈相距很远时，L>>R，互感系数约为 M?2R．

16．15 两个共轴的长直螺线管长为L，半径分别为R1和R2，设R2 > R1；匝数分别为N1和N2．求两螺线管的互感系数．

[解答]设大螺线管中通以电流I2，在轴线上产生的磁感应强度为B = μ0n2I2 = μ0N2I2/L． 小螺线管的面积为 S = πR12，

大螺线圈通过一匝小螺线管的磁通量为 Φ = BS = πμ0N2I2R12/L，

在小线圈中产生的全磁通为 Φ12 = N1Φ = πμ0N1N2I2R12/L， 互感系数为 M = Φ12/I2 = πμ0N1N2R12/L．

16．16 一圆形线圈C1由50匝表面绝缘的细导线密绕而成，圆面积S = 2cm2，将C1放在一个半径R = 20cm的大圆线圈C2的中心，两线圈共轴，C2线圈为100匝．求：

I2 （1）两线圈的互感M； C2

-1

（2）C2线圈中的电流以50A·s的速率减少时，C1中的感应电动势为多少？

C1 [解答](1)设大线圈中通以电流I2，N2匝线圈形成的环电流在圆心产生的磁感应强度为 B = μ0N2I2/2R，

小线圈中的全磁通为 Φ12 = N1BS =μ0N1N2I2S/2R，

图16.16

互感系数为 M = Φ12/I2 = μ0N1N2S/2R= 4π×10-7×50×100×2×10-4/2×0.2=10-6π(H)．

(2) C1中的感应电动势的大小为 ε = MdI2/dt = 10-6π×50 = 5×10-5π(V)．

16．17 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈中通有电流I = I0sinωt时，求直导线中的感应电动势．

[解答]如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为r处产生的磁感应强度为

a B = μ0I/2πr．

在矩形线圈中取一面积元dS = bdr，通过线圈的磁通量为

I a?cb ?0Ibdr?0Iba?c， ??BdS??lnc 2?r2?c?S?c互感系数为 M??I??0ba?c． ln2?c图16.17

当线圈中通以交变电流I = I0sinωt时，直导线中的感应电动势大小为

??MdI?0ba?c?(ln)I0?cos?t． dt2?c

16．18 在长圆柱形的纸筒上绕有两个线圈1和2，每个线圈的自感都是0.01H，如图所示．求： （1）线圈1的a端和线圈2的a`端相接时，b和b`之间的自感L为多少？ （2）线圈1的b端和线圈2的a`端相接时，a和b`之间的自感L为多a a` 少？

[解答]（1）当线圈1的a端和线圈2的a`端相接时，在b和b`之间通以电流I，两个线圈产生的磁场方向相反，由于两个线圈是相同的，总磁场B = 0，所以磁场能量为零，自感L也为零．

b b` （2）当线圈1的b端和线圈2的a`端相接时，在a和b`之间通以电流

图16.18

I，两个线圈产生的磁场方向相同，由于两个线圈是相同的，总磁场为B = B1 + B2 = 2B1，磁场的能量为

B12B21Wm??dV?4?dV?4L1I2．

2?2?2VV2W自感系数为 L?2m?4L1=0.04(H)．

I

16．19 两个线圈的自感分别为L1和L2，，它们之间的互感为M．将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感；（2）将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感．

[解答]两个线圈串联时，通以电流I之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和B = B1 + B2，磁场的能量为

1 2 3 a 4 Wm??VBdV2?2??VBBB?BdV??dV??12dV2?2??VV21221 2 3 4 b 图16.19