矫顽力Hc?1?103(A·m-1)．

2?[解答]直线电流I产生磁感应强度为

B = μ0I/2πr，

产生的磁场为 H = B/μ0 = I/2πr．

为了磁芯从内到外的磁化方向全部翻转，电流在磁芯外侧r = 0.4mm处产生的磁场应该为 H = Hc， 即 Hc=I/2πr，所以，脉冲电流为 I = 2πrHc?2??0.4?10?3

1?103?0.4(A)． 2?第十六章 电磁感应 电磁场与电磁波

16．1 一条铜棒长为L = 0.5m，水平放置，可绕距离A端为L/5处和棒垂直的轴OO`在水平面内旋转，每秒转动一周．铜棒置于竖直向上的匀强磁场中，如图所示，磁感应强度B = 1.0×10-4T．求铜棒两端A、B的电势差，何端电势高．

[解答]设想一个半径为R的金属棒绕一端做匀速圆周运动，角速度为ω，经过时间dt后转过的角度为

dθ = ωdt，扫过的面积为dS = R2dθ/2， O` B 2

切割的磁通量为 dΦ = BdS = BRdθ/2， ω A B 动生电动势的大小为

ε = dΦ/dt = ωBR2/2．

L/5 根据右手螺旋法则，圆周上端点的电势高． O AO和BO段的动生电动势大小分别为 图16.1

?AO??BO， ()?2550?B4L216?BL2． ?()?2550?BL2?BL2L l o dθ R ω 由于BO > AO，所以B端的电势比A端更高，A和B端的电势差为

???BO??AO3?BL23?BL23?2??1.0?10?4(0.5)2= 4.71×10-4(V)． ???101010?[讨论]如果棒上两点到o的距离分别为L和l，则两点间的电势差为

???B(L?l)22

??Bl22?B(L2?2Ll)2．

16．2 一长直载流导线电流强度为I，铜棒AB长为L，A端与直导线的距离为xA，AB与直导线的

夹角为θ，以水平速度v向右运动．求AB棒的动生电动势为多少，何端电势高？

[解答]在棒上长为l处取一线元dl，在垂直于速度方向上的长度为 dl⊥ = dlcosθ； I xA A 线元到直线之间的距离为 r = xA + lsinθ，

θ l 直线电流在线元处产生的磁感应强度为 v r dl ?0I?0I． B??2?r2?(xA?lsin?)B 由于B，v和dl⊥相互垂直，线元上动生电动势的大小为 o x ?0Ivcos?dl图16.2 ， d??Bvdl??2?(xA?lsin?)棒的动生电动势为

?Ivcos???02??0Ivcos?dl??x?lsin?2?sin?0ALxA?Lsin?d(xA?lsin?)?0Iv， ?cot?ln?2?xxA?lsin?A0LA端的电势高．

[讨论]（1）当θ→π/2时，cotθ = cosθ/sinθ→0，所以ε→0，就是说：当棒不切割磁力线时，棒中不产

生电动势．

（2）当θ→0时，由于lnxA?Lsin?Lsin?Lsin??IvL?ln(1?)?，所以??0，这就是棒垂直

xAxAxA2?xA割磁力线时所产生电动势．

16．3 如图所示，平行导轨上放置一金属杆AB，质量为m，长为L．在导轨上的端接有电阻R．匀强磁场B垂直导轨平面向里．当AB杆以初速度v0向运动时，求：

（1）AB杆能够移动的距离；

A （2）在移动过程中电阻R上放出的焦耳热为多少？

[分析]当杆运动时会产生动生电动势，在电路中形成电流；这时杆又B v0 变成通电导体，所受的安培力与速度方向相反，所以杆将做减速运动．随 R 着杆的速度变小，动生电动势也会变小，因而电流也会变小，所受的安培力也会变小，所以杆做加速度不断减小的减速运动，最后缓慢地停下来． B [解答]（1）方法一：速度法．设杆运动时间t时的速度为v，则动生图16.3 电动势为ε = BLv，电流为 I = ε/R， 所受的安培力的大小为

F = ILB = εLB/R = (BL)2v/R，方向与速度方向相反．

取速度的方向为正，根据牛顿第二定律F = ma得速度的微分方程为

(BL)2vdv??m，

Rdtdv(BL)2即： ??dt

vmR(BL)2积分得方程的通解为 lnv??t?C1．

mR(BL)2根据初始条件，当t = 0时，v = v0，可得常量C1 = lnv0．方程的特解为v?v0exp[?t]．

mR(BL)2 由于v = dx/dt，可得位移的微分方程dx?v0exp[?t]dt，

mR方程的通解为

(BL)2?mRv0(BL)2x?v0?exp[?t]dt?exp[?t]?C2， 2mR(BL)mRmRv0当t = 0时，x = 0，所以常量为C2?．

(BL)2方程的特解为

mRv0(BL)2x?{1?exp[?t]}． 2(BL)mR当时间t趋于无穷大时，杆运动的距离为x?方法二：冲量法．由F = -(BL)2v/R，得

mRv0． 2(BL)(BL)2?dx?Fdt，

R右边积分得

?Fdt?0?mvt0，

即：杆所受的冲量等于杆的动量的变化量．左边积分后，可得x?（2）杆在移动过程中产生的焦耳热元为

mv0R． 2(BL)(BLv0)2?2(BLv)22(BL)2dQ?IRdt?dt?dt?exp[?t]dt

RRRmR2整个运动过程中产生的焦耳热为

2(BLv0)22(BL)2?mv02(BL)2Q?exp[?t]dt?exp[?t]?RmR2mR0??02mv0， ?2即：焦耳热是杆的动能转化而来的．

16．4 如图所示，质量为m、长度为L的金属棒AB从静止开始沿倾斜的绝缘框架滑下．磁感应强度B的方向竖直向上（忽略棒AB与框架之间的摩擦），求棒AB的动生电动势．若棒AB沿光滑的金属框架滑下，设金属棒与金属框组成的回路的电阻R为常量，棒AB的动生电动势又为多少？

[解答]（1）棒的加速度为a = gsinθ，

B A 经过时间t，棒的速度为v = at = (gsinθ)t，

而切割磁力线的速度为 v⊥ = vcosθ，

D 所以棒的动生电动势为

ε = BLv⊥ = BLg(sinθcosθ)t = BLg(sin2θ)t/2． B （2）设棒运动时间t时的速度为v，则动生电动势为 ε = BLvcosθ， θ C 电流为 I = ε/R，

所受的安培力的大小为 图16.4

2

F = ILB = εLB/R = (BL)vcosθ/R，

其方向水平向右．安培力沿着斜面向上的分量为 F` = Fcosθ， 其方向与速度的方向相反．

取速度的方向为正，根据牛顿第二定律ΣF = ma得速度的微分方程为

(BLcos?)2vdvmgsin???m，

RdtmR即 dt?dv，

mgRsin??(BLcos?)2v方程可化为

?mRd[mgRsin??(BLcos?)2v]． dt?22(BLcos?)mgRsin??(BLcos?)v积分得方程的通解为

t??mR2ln[mgRsin??(BLcos?)v]?C． 2(BLcos?)mRln(mgRsin?)，

(BLcos?)2根据初始条件，当t = 0时，v = 0，可得常量

C?方程的特解为

?mR[mgRsin??(BLcos?)2v]， t?ln2(BLcos?)mgRsin?棒的速度为

mgRsin?(BLcos?)2v?{1?exp[?t]}， 2(BLcos?)mR动生电动势为

mgR(BLcos?)2??BLvcos??tan?{1?exp[?t]}．

BLmRmgRsin?[讨论]当时间t趋于无穷大时，最终速度为 v?，

(BLco?s2)mgRtan?， BLmg最终电流为 I?tan?．

BL最终电动势为 ??另外，棒最终做匀速运动，重力做功的功率等于感生电流做功的功率，重力做功的功率为 P = mgsinθv，

(BLvcos?)2感生电流做功的功率为 P?IR?， ?RRmgRsin?两式联立也可得 v?， 2(BLco?s)2?2由此可以求出最终电动势和电流．

[注意]只有当物体做匀速运动时，重力所做的功才等于电流所做的功，否则，重力还有一部分功转换成物体的动能．

16．5 电磁涡流制动器是一个电导率为ζ，厚度为t的圆盘，此盘绕通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场B垂直于圆盘，小面积离轴r（r>>a）．当圆盘角速度为ω时，试证此圆盘

222

受到一阻碍其转动的磁力矩，其大小近似地表达为M≈Barωζt．

[解答]电导率是电阻率的倒数ζ = 1/ρ．不妨将圆盘与磁场相对的部分当成长、

B 宽和高分别为a、a和t的小导体，其横截面积为 S = at，

ω a r a 电流将从横截面中流过，长度为a，因此其电阻为 t R??l1． ?S?t图16.5

a a 宽为a的边扫过磁场中，速度大小为

v = rω， S I t 产生的感生电动势为 ε = Bav = Barω，

圆盘其他部分的电阻远小于小导体的电阻，因此通过小导体的电流强度为

I = ε/R = Barωζt，

所受的安培力为 F = IaB = B2a2rωζt，

其方向与速度方向相反．产生的磁力矩为 M = Fr = B2a2r2ωζt．其方向与角速度的方向相反．

16．6 如图，有一弯成θ角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t = 0时，x = 0，求下列两情形，框架内的感应电动势εi．

（1）磁场分布均匀，且B不随时间改变； （2）非均匀的交变磁场B = Kxcosωt． M C B [解答]（1）经过时间t，导体杆前进的距离为 x = vt， 杆的有效长度为 l = xtanθ = v(tanθ)t， v 2

动生电动势为 εi = Blv = Bv(tanθ)t． θ O （2）导体杆扫过的三角形的面积为

N D x 222

S = xl/2 = xtanθ/2 = vttanθ/2，

图16.6 通过该面的磁通量为

kx3tan?kv3tan?3??BS?cos?t ?tcos?t

22感应电动势为

kv3tan?2d???(3tcos?t??t3sin?t)， ?i??dt2kv3tan?2即：?i?t(?tsin?t?3cos?t)．

2 16．7 如图所示的回路，磁感应强度B垂直于回路平面向里，磁通量按下述规律变化Φ = 3t2 + 2t + 1，