[解答]在x轴上方的圆周上取一电流元I2dl，其大小为 I2dl = I2Rdθ， 所受的安培力为 dF = I2dl×B， 其大小为 dF = |I2dl×B| = I2RdθBsinφ，

其中φ = θ/2，B是电流I1在电流元I2dl处产生的磁感应强度

B??0I1?0I1， ?2?r4?Rcos?φ B I2dl I1 θ R O r φ 因此安培力的大小可化为

x ?II? dF?012tan?d，力的方向垂直纸面向里．

4?2如果在x轴下方取一电流元，其受力方向垂直纸面向外，因此，

圆周所受的安培力使其绕x轴旋转．

电流元所受的力矩为 dM?dFR(s?in?)电流所受的力矩为

I2 B R O ?0I1IR22?2sin? d2? ?0I1I2R2?1M?(1?cos?)d? ?2?20?0I1I2R?2．

I1 I2 如果电流I1置于圆电流圆心处，那么I2就与I1产生的磁力线重合，所受的力为零，力矩也为零．

14．26 一个电子在B = 20×10-4T的磁场中，沿半径R = 2cm的螺旋线运动，螺距h = 5cm，如图所示，求：

（1）电子的速度为多少？ （2）B的方向如何？

[解答]电子带负电，设速度v的方向与磁力线的负方向成θ角，则沿着磁力线方向的速度为 v1 = vcosθ，垂直速度为 v2 = vsinθ． R 由 R = mv2/eB，得 v2 = eBR/m．

由 h = v1T，得 v1 = h/T = heB/2πm，

h 22因此速度为v?v1?v2?eBhR2?()2 m2? 图14.26 = 7.75×106(m·s-1)； 由 tan??v22?R= 2.51，得 θ = 68.3° = 68°18′． ?v1h

14．27 一银质条带，z1 = 2cm，y1 = 1mm．银条置于Y方向的均匀磁场中B Y B = 1.5T，如图所示．设电流强度I = 200A，自由电子数n = 7.4×1028个·m-3，试求：

（1）电子的漂移速度；

X （2）霍尔电压为多少？ o [解答]（1）电流密度为 δ = ρv， Iz y1 1 其中电荷的体密度为 ρ = ne. 电流通过的横截面为 S = y1z1，

Z 电流强度为 I =δS = neSv，

图14.27 得电子的漂移速度为

v?I1-4-1

=8.45×10(m·s)． ?28?19neS7.4?10?1.6?10?0.001?0.0211-113-1

（2）霍尔系数为RH?= 8.44×10(m·C)， ?28?19ne7.4?10?1.6?10霍尔电压为

UH?RHIB200?1.5= 2.53×10-5(V)． ?8.44?10?11y10.001

第十五章 磁介质的磁化

15．1 一均匀磁化的磁介质棒，直径为25mm，长为75mm，其总磁矩为12000A·m2．求棒的磁化强度M为多少？

[解答]介质棒的面积为S = πr2，体积为 V = Sl = πr2l， 磁矩为pm = 12000A·m2，磁化强度为

M??pmpm120008-1

=3.26×10(A·m)． ???32?3?VV?(25?10/2)?75?10

15．2 一铁环中心线的周长为30cm，横截面积为1.0cm2，在环上密绕线圈共300匝，当通有电流32mA

-6

时，通过环的磁通量为2.0×10Wb，求：

（1）环内磁感应强度B的值和磁场强度H的值； （2）铁的磁导率μ、磁化率χm和磁化强度M．

2.0?10?6[解答]（1）根据公式B = Φ/S得磁感应强度为B?= 0.02(T)． ?41.0?10根据磁场的安培环路定理

??H?dl??I，

L由于B与dl的方向相同，得磁场强度为

NI300?32?10?3-1

= 32(A·m)． H???2l30?10（2）根据公式B = μH，得铁的磁导率为

??由于μ = μrμ0，其中μ0 = 4π×10-7为真空磁导率，而相对磁导率为μr = 1 + χm，所以磁化率为 ?6.25?10?4?m??1??1?496.4．

?04??10?7磁化强度为 M = χmH = 496.4×32 = 1.59×104(A·m-1)．

15．3 一螺绕环中心周长l = 10cm，线圈匝数N = 200匝，线圈中通有电流I = 100mA．求： （1）管内磁感应强度B0和磁场强度H0为多少？

（2）设管内充满相对磁导率μr = 4200的铁磁质，管内的B和H是多少？ （3）磁介质内部由传导电流产生的B0和由磁化电流产生的B`各是多少？ [解答]（1）管内的磁场强度为

B0.02= 6.25×10-4(Wb·A-1·m-1)． ?H32NI200?100?10?3= 200(A·m-1)． H0???2l10?10磁感应强度为

B = μ0H0 = 4π×10-7×200 = 2.5×10-4(T)．

（2）当管内充满铁磁质之后，磁场强度不变H = H0 =200(A·m-1)． 磁感应强度为

B = μH = μrμ0H= 4200×4π×10-7×200 = 1.056(T)．

（3）由传导电流产生的B0为2.5×10-4T．由于B = B0 + B`，所以磁化电流产生的磁感应强度为

B` = B - B0 ≈1.056(T)．

15．4 一根无限长的直圆柱形铜导线，外包一层相对磁导率为μr的圆筒形磁介质，导线半径为R1，磁介质外半径为R2，导线内有电流I通过（I均匀分布），求：

（1）磁介质内、外的磁场强度H和磁感应强度B的分布，画H-r，B-r曲线说明之（r是磁场中某点到圆柱轴线的距离）；

（2）磁能密度分布．

[解答]（1）导线的横截面积为S0 = πR12，导线内的电流密度为 δ = I/S0 = I/πR12．

在导线内以轴线的点为圆心作一半径为r的圆，其面积为 S =πr2， 通过的电流为 ΣI = δS = Ir2/R12．

根据磁场中的安培环路定理??H?dl??I，

L环路的周长为l = 2πr，由于B与dl的方向相同，得磁场强度为

H??IIr，（0≦r≦R1）． ?2l2?R1在介质之中和介质之外同样作一半径为r的环路，其周长为l = 2πr，包围的电流为I，可得磁场强度?II为 H?，（r≧R1）． ?l2?r导线之内的磁感应强度为

?IrB??0H?02,(0?r?R1)； B H 2?R1介质之内的磁感应强度为

B??H??r?0H?B??0H??r?0I,(R1?r?R2)； 2?r介质之外的磁感应强度为

o R1 r o R1 R2 r ?0I,(r?R2)． 2?r （2）导线之内的磁能密度为

wm?112 B0?H0??0H022?0I2r2?24,(0?r?R1)； 8?R1?r?0I211122介质之中的磁能密度为 wm?B?H??H??r?0H?,(R1?r?R2)；

2228?2r2?0I2112介质之外的磁感应强度为 wm?B?H??0H?,(r?R2)． 22228?r

15．5 一根磁棒的矫顽力为Hc = 4.0×103A·m-1，把它放在每厘米上绕5匝的线圈的长螺线管中退磁，求导线中至少需通入多大的电流？

[解答]螺线管能过电流I时，产生的磁感应强度为 B = μ0nI．

根据题意，螺线管产生的磁场强度至少要与磁棒的矫顽力大小相等，但方向相反，因此 B = μ0Hc，

3

所以电流强度为 I = Hc/n = 4.0×10/500 = 8(A)．

15．6 同轴电缆由两个同轴导体组成．内层是半径为R1的圆柱，外层是半径分别为R2和R3的圆筒，如图所示．两导体间充满相对磁导率为μr2的均匀不导电的磁介质．设电流强度由内筒流入由外筒流出，均匀分布是横截面上，导体的相对磁导率为μr1．求H和B的分

R2 布以及im为多少？

o [解答]（1）导体圆柱的横截面积为S0 = πR12，

R1 圆柱体内的电流密度为δ = I/S0 = I/πR12．

在圆柱体内以轴线的点为圆心作一半径为r的圆，其面积为 S = πr2， R3 通过的电流为 ΣI = δS = Ir2/R12．

图15.6 H?dl?I， 根据磁场中的安培环路定理

??L?环路的周长为l = 2πr，由于B与dl的方向相同，得磁场强度为

?IIr，（0≦r≦R1）． ?l2?R12磁感应强度为

H?B??r1?0H??r1?0Ir，（0≦r≦R1）． 22?R1（2）在介质之中同样作一半径为r的环路，其周长为l = 2πr，包围的电流为I，可得磁场强度为

?II，（R1≦r≦R2）． ?l2?r??I磁感应强度为 B??r2?0H?r20，（R1≦r≦R2）．

2?r(??1I)B磁化强度为 M?． ?H?(?r2?1)H?r2?02?rH?磁化面电流的线密度为 im = M×n0，n0是介质表面的法向单位矢量．在介质的两个圆形表面，由于M与

n0垂直，im = |M×n0| = M．

在介质的内表面，由于r = R1，所以磁化电流为 im?在介质的外表面，由于r = R2，所以 im?(?r2?1I)．

2?R1(?r2?1I)．

2?R2（3）导体圆筒的横截面积为 S` = π(R32 - R22)， 圆筒内的电流密度为δ` = I/S`．

在圆筒内以作一半径为r的圆，其面积为 S = π(r2 - R22)， 圆所包围的电流为

22SR3?r2r2?R2?I?I??`S?I?IS`?I(1?R2?R2)?IR2?R2，

3232I(R32?r2)?I根据安培环路定理?（R2≦r≦R3）． ?LH?dl??I，得磁场强度为H?2?r?2?(R32?R22)r，

?r1?0I(R32?r2)磁感应强度为 B??r1?0H?，（R2≦r≦R3）． 22?(R32?R2)r（4）在圆筒之外作一圆，由于包围的电流为零，所以磁场强度和磁感应强度都为零．

15．7 在平均半径r = 0.1m，横截面积S = 6×10-4m2铸钢环上，均匀密绕N = 200匝线圈，当线圈内通有I1 = 0.63安的电流时，钢环中的磁通量Φ1 = 3.24×10-4Wb．当电流增大到I2 = 4.7安时，磁通量Φ2 = 6.18×10-4Wb，求两种情况下钢环的绝对磁导率．

[解答]钢环中的磁感应强度为B = Φ/S；根据安培环路定理NI/2πr．

根据公式B = μH，得绝对磁导率为 ??B?2?r?．

HNIS（1）在第一种情况下

??H?dl??I，得磁场强度为

LH =

2??0.1?3.24?10?4-3-1

= 2.69×10(H·m) ． ???4200?0.63?6?10（2）在第二种情况下

2??0.1?6.18?10?4-4-1

= 6.88×10(H·m) ． ???4200?4.7?6?10

15．8 一矩磁材料，如图所示．反向磁场一超过矫顽力Hc，磁化方向立即翻转．用矩磁材料制造的电子计算机中存储元件的环形磁芯，其外径为0.8mm，内径为0.5mm，高M 为0.3mm．若磁芯原来已被磁化，方向如图所示，现在需使磁芯从内到外的

磁化方向全部翻转，导线中脉冲电流I的峰值至少需要多大？设磁性材料的

-Hc o H 图15.8