v20
(3)由qv0B＝m可知，当B变为原来的2倍时，粒子在磁场中做圆周运动的半径应变为原
R5
来的一半，设粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动的半径为R1，则R1＝l
8
5
粒子轨迹如图乙所示，由几何关系可知，∠MO2N＝60°，故MN＝l
8
当MN为圆形磁场的直径时，圆形磁场区域面积最小，故Smin＝π??，代入数据可得Smin
?2?＝252
πl 256
4252
答案：(1)2v0 (2) (3)πl
5v0256[题组二] 带电粒子在叠加场中的运动
3．(2019·河南省周口市期末)(多选)如图所示，平行纸面向下的匀强电场与垂直纸面向外的匀强磁场相互正交，一带电小球刚好能在其中做竖直面内的匀速圆周运动．若已知小球做圆周运动的半径为r，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，重力加速度大小为g，则下列判断中正确的是( )
?MN?2
A．小球一定带负电荷 B．小球一定沿顺时针方向转动 C．小球做圆周运动的线速度大小为
gBr ED．小球在做圆周运动的过程中，电场力始终不做功
解析：AC [带电小球在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，可知，带电小球受到的重力和电场力是一对平衡力，重力竖直向下，所以电场力竖直向上，与电场方向相反，故小球一定带负电荷，故A正确；磁场方向向外，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可判断小球的运动方向为逆时针，故B错误；由电场力和重力大小相等，得：mg＝qE，
- 17 -
带电小球在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的半径为：r＝，联立得：v＝
mvqBgBr，故C正确；E小球在做圆周运动的过程中，电场力做功，洛伦兹力始终不做功，故D错误．]
4．(2020·河南省濮阳市第二次模拟)如图所示，在xOy坐标系的第二象限内有水平向右的匀强电场，第四象限内有竖直向上的匀强电场，两个电场的场强大小相等，第四象限内还有垂直于纸面的匀强磁场，让一个质量为m、带电荷量为q的粒子在第二象限内的P(－L，L)点由静止释放，结果粒子沿直线运动到坐标原点并进入第四象限，粒子在第四象限内运动后从x轴上的Q(L,0)点进入第一象限，重力加速度为g，求：
(1)粒子从P点运动到坐标原点的时间； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小和方向．
解析：(1)粒子在第二象限内做直线运动，因此电场力和重力的合力方向沿PO方向，则粒子带正电．
mg＝qE1＝qE2，2mg＝ma，2L＝at2，解得t＝
12
2L g(2)设粒子从O点进入第四象限的速度大小为v，则v＝at＝2gL，方向与x轴正方向成45°角，由于粒子在第四象限内受到的电场力与重力等大反向，因此粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于粒子做匀速圆周运动后从x轴上的Q(L,0)点进入第一象限，根据左手定则可以判断，磁场方向垂直于纸面向里．
粒子做圆周运动的轨迹如图，由几何关系可知
粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为R＝
2L 2
v22m2gL由牛顿第二定律可得Bqv＝m，解得B＝.
RqL - 18 -
答案：(1) 2L2m2gL (2)，垂直纸面向里
gqL[题组三] 带电粒子在交变电磁场中的运动
5．(2020·江西省五市八校第二次联考)如图甲所示，直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有垂直坐标平面的匀强交变磁场，磁场方向垂直纸面向外为正方向．第三象限内有一发射装置(没有画出)沿y轴正方向射出一个比荷＝100 C/kg的带正电的粒子(可视为质点且不计重力)，该粒子以v0＝20 m/s的速度从x轴上的点A(－2 m,0)进入第二象限，从y轴上的点C(0,4 m)进入第一象限．取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化，g取10 m/s.
2
qm
(1)求第二象限内电场的电场强度大小； (2)求粒子第一次经过x正半轴时的位置坐标．
解析：(1)带电粒子在第二象限的电场中做类平抛运动，设粒子从A点到C点用时为t，则
2
Eq|xA|＝m(v2C－v0)
1
2
|xA|＝
vCx2
t
|yC|＝v0t
22
v2C＝v0＋vCx
解得：E＝1.0 N/C，vC＝202 m/s
(2)设粒子在C点的运动方向与y轴正方向成θ角， 则cos θ＝＝即θ＝45°
v0
vC2 2
v2C粒子在第一象限的磁场中运动时有：qvCB＝m r解得：r＝2 m 2
2πrπ
粒子做圆周运动的周期T＝＝ s
vC20
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所以粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x正半轴，在x正半轴上对应的弦长为2r＝1 m，所以OD＝3 m
粒子第一次经过x正半轴时的位置坐标为(3 m,0) 答案：(1)1.0 N/C (2)(3 m,0)
6．(2019·吉林三模)如图甲所示，虚线MN的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界)．一个质量为m、电荷量为q的带正电小球(视为质点)，以大小为v0的水平初速度沿PQ向右做直线运动．若小球刚经过D点时(t＝0)，在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时的速度与PQ连线成60°角．已知D、Q间的距离为(3＋1)L，t0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，重力加速度大小为g.
(1)求电场强度E的大小； (2)求t0与t1的比值；
(3)小球过D点后将做周期性运动，当小球运动的周期最大时，求此时磁感应强度的大小
B0及运动的最大周期Tm.
解析：(1)小球沿PQ向右做直线运动，受力平衡，则mg＝Eq，解得E＝. (2)小球能再次通过D点，其运动轨迹应如图(a)所示．
mqq
设小球做匀速圆周运动的轨迹半径为r，则由几何关系有s＝ tan 30°
- 20 -
r又知s＝v0t1
π?4?圆弧轨迹所对的圆心角θ＝2π－?π－?＝π 3?3?则t0＝
θr v0
t043
π.
t19
联立解得＝(3)当小球运动的周期最大时，其运动轨迹应与MN相切，小球运动一个周期的轨迹如图所示，由几何关系得R＋
Rtan 30°
＝(3＋1)L
解得R＝L
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有qvv20
0B0＝mR 解得B0
0＝
mvqL 小球在一个周期内运动的路程
s2R1＝3×3
×2πR＋6×
tan 30°
＝(4π＋63)L
故Ts1?4π＋63?Lm＝v＝v.
0
0
答案：(1)mg43?4π＋63?Lq (2)9 π (3)v 0
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(b)